Suponha que
é uma variável aleatória que mede um escore de um indivíduo, num teste de aptidão em matemática, que varia entre 0 e 1. E seja
o seu escore em um teste de aptidão em música que também varia entre 0 e 1 . Suponha que na população dos alunos de um dado colégio os escores
e
são distribuídos de acordo qual a função de densidade:
Qual a proporção de estudantes que obtiveram um escore maior que 0,8 no teste de aptidão em matemática?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Probabilidade onde queremos descobrir a proporção de estudantes que tiraram um escore maior que 0,8 no teste de aptidão em matemática. Para isso, vamos usar a função de densidade conjunta dos escores em matemática (
) e música (
):
Vamos precisar calcular a probabilidade marginal de
e depois integrar para encontrar a proporção desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função de densidade marginal de
, que é basicamente a probabilidade de
assumir certos valores, independentemente de
. Para isso, integramos a função de densidade conjunta em relação a
de 0 a 1:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:
- A integral de
em relação a de 0 a 1 é avaliada de 0 a 1, que resulta em . - A integral de
em relação a de 0 a 1 é avaliada de 0 a 1, que resulta em .
Então:
Passo 4
Agora que temos a função de densidade marginal de
, podemos calcular a probabilidade de
ser maior que 0,8. Isso é feito integrando
de 0,8 a 1:
Passo 5
Vamos resolver essa integral:
A antiderivada de
é
. Avaliando de 0,8 a 1:
Então:
Resposta
A proporção de estudantes que obtiveram um escore maior que 0,8 no teste de aptidão em matemática é 26,4%.