Suponha que X é uma variável aleatória que mede um escore de um indivíduo, num teste de aptidão em matemática, que varia entre 0 e 1. E seja Y o seu escore em um teste de aptidão em música que também varia entre 0 e 1 . Suponha que na população dos alunos de um dado colégio os escores X e Y são distribuídos de acordo qual a função de densidade:
f(x, y)=25(2 x+3 y), 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1
Qual a proporção de estudantes que obtiveram um escore maior que 0,8 no teste de aptidão em matemática?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Probabilidade onde queremos descobrir a proporção de estudantes que tiraram um escore maior que 0,8 no teste de aptidão em matemática. Para isso, vamos usar a função de densidade conjunta dos escores em matemática ( X) e música ( Y):
f(x, y) = 25(2x + 3y), 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1
Vamos precisar calcular a probabilidade marginal de X e depois integrar para encontrar a proporção desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de densidade marginal de X, que é basicamente a probabilidade de X assumir certos valores, independentemente de Y. Para isso, integramos a função de densidade conjunta em relação a y de 0 a 1:
fX(x) = integral0^1 f(x, y) , dy = integral0^1 25(2x + 3y) , dy

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral:
fX(x) = 25 integral0^1 (2x + 3y) , dy
Integrando termo a termo:
  • A integral de 2x em relação a y de 0 a 1 é 2x cdot y avaliada de 0 a 1, que resulta em 2x.
  • A integral de 3y em relação a y de 0 a 1 é 32y^2 avaliada de 0 a 1, que resulta em 32.
Então:
fX(x) = 25 ( 2x + 32 ) = 25 cdot ( 4x + 32 ) = 4x + 35

Passo 4

Agora que temos a função de densidade marginal de X, podemos calcular a probabilidade de X ser maior que 0,8. Isso é feito integrando fX(x) de 0,8 a 1:
P(X > 0,8) = integral0,8^1 fX(x) , dx = integral0,8^1 4x + 35 , dx

Passo 5

Vamos resolver essa integral:
P(X > 0,8) = 15 integral0,8^1 (4x + 3) , dx
A antiderivada de 4x + 3 é 2x^2 + 3x. Avaliando de 0,8 a 1:
[ 2x^2 + 3x ]0,8^1 = (2(1)^2 + 3(1)) - (2(0,8)^2 + 3(0,8)) = (2 + 3) - (2(0,64) + 2,4) = 5 - (1,28 + 2,4) = 5 - 3,68 = 1,32
Então:
P(X > 0,8) = 1,325 = 0,264

Resposta

A proporção de estudantes que obtiveram um escore maior que 0,8 no teste de aptidão em matemática é 26,4%.

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