Suponha que X é uma variável aleatória que mede um escore de um indivíduo, num teste de aptidão em matemática, que varia entre 0 e 1. E seja Y o seu escore em um teste de aptidão em música que também varia entre 0 e 1 . Suponha que na população dos alunos de um dado colégio os escores X e Y são distribuídos de acordo qual a função de densidade:
f(x, y)=25(2 x+3 y), 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1
Se um estudante obteve um escore de 0,3 no teste de música, qual a probabilidade do seu escore no teste de matemática ser maior que 0,8 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta duas notas de um aluno: uma em matemática ( X) e outra em música ( Y), ambas variando de 0 a 1. A função de densidade conjunta dessas notas é dada por:
f(x, y) = 25(2x + 3y), 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1
Queremos descobrir a probabilidade de que, sabendo que o aluno tirou 0,3 em música ( Y = 0,3), sua nota em matemática ( X) seja maior que 0,8. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional em distribuição contínua.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é probabilidade condicional. Em termos simples, a probabilidade condicional de X > 0,8 dado que Y = 0,3 é a probabilidade de X > 0,8 dentro do contexto onde Y já é 0,3. Matematicamente, isso é representado por:
P(X > 0,8 mid Y = 0,3)

Passo 3

Para encontrar essa probabilidade, precisamos calcular a função de densidade condicional de X dado Y = 0,3, que é:
fX|Y(x mid Y = 0,3) = f(x, 0,3)fY(0,3)
Aqui, fY(0,3) é a função de densidade marginal de Y no ponto 0,3.

Passo 4

Vamos começar calculando f(x, 0,3) substituindo y por 0,3 na função de densidade conjunta:
f(x, 0,3) = 25(2x + 3 times 0,3) = 25(2x + 0,9) = 25(2x + 0,9)

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade marginal fY(0,3), que é a integral de f(x, 0,3) em relação a x de 0 a 1:
fY(0,3) = integral0^1 f(x, 0,3) , dx = integral0^1 25(2x + 0,9) , dx

Passo 6

Vamos resolver essa integral:
fY(0,3) = 25 integral0^1 (2x + 0,9) , dx = 25 [ integral0^1 2x , dx + integral0^1 0,9 , dx ]
Calculando cada integral separadamente:
integral0^1 2x , dx = 2 [ x^22 ]0^1 = 2 times ( 12 - 0 ) = 1
integral0^1 0,9 , dx = 0,9 times (1 - 0) = 0,9
Então:
fY(0,3) = 25 (1 + 0,9) = 25 times 1,9 = 3,85 = 0,76

Passo 7

Agora que temos fY(0,3) = 0,76, podemos encontrar a função de densidade condicional fX|Y(x mid Y = 0,3):
fX|Y(x mid Y = 0,3) = f(x, 0,3)fY(0,3) = 25(2x + 0,9)0,76 = 2(2x + 0,9)5 times 0,76 = 4x + 1,83,8

Passo 8

Agora, queremos a probabilidade de X > 0,8 dado Y = 0,3. Isso é calculado integrando a densidade condicional de x de 0,8 a 1:
P(X > 0,8 mid Y = 0,3) = integral0,8^1 fX|Y(x mid Y = 0,3) , dx = integral0,8^1 4x + 1,83,8 , dx

Passo 9

Vamos resolver essa integral:
P(X > 0,8 mid Y = 0,3) = 13,8 integral0,8^1 (4x + 1,8) , dx = 13,8 [ integral0,8^1 4x , dx + integral0,8^1 1,8 , dx ]
Calculando cada integral separadamente:
integral0,8^1 4x , dx = 4 [ x^22 ]0,8^1 = 4 ( 12 - 0,642 ) = 4 times (0,5 - 0,32) = 4 times 0,18 = 0,72
integral0,8^1 1,8 , dx = 1,8 times (1 - 0,8) = 1,8 times 0,2 = 0,36
Então:
P(X > 0,8 mid Y = 0,3) = 13,8 (0,72 + 0,36) = 1,083,8 approx 0,2842

Resposta

A probabilidade do escore em matemática ser maior que 0,8, dado que o escore em música foi 0,3, é aproximadamente 0,2842 (ou 28,42%).

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