Suponha que
é uma variável aleatória que mede um escore de um indivíduo, num teste de aptidão em matemática, que varia entre 0 e 1. E seja
o seu escore em um teste de aptidão em música que também varia entre 0 e 1 . Suponha que na população dos alunos de um dado colégio os escores
e
são distribuídos de acordo qual a função de densidade:
Se um estudante obteve um escore de 0,3 no teste de música, qual a probabilidade do seu escore no teste de matemática ser maior que 0,8 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta duas notas de um aluno: uma em matemática (
) e outra em música (
), ambas variando de 0 a 1. A função de densidade conjunta dessas notas é dada por:
Queremos descobrir a probabilidade de que, sabendo que o aluno tirou 0,3 em música (
), sua nota em matemática (
) seja maior que 0,8. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional em distribuição contínua.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é probabilidade condicional. Em termos simples, a probabilidade condicional de
dado que
é a probabilidade de
dentro do contexto onde
já é 0,3. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 3
Para encontrar essa probabilidade, precisamos calcular a função de densidade condicional de
dado
, que é:
Aqui,
é a função de densidade marginal de
no ponto 0,3.
Passo 4
Vamos começar calculando
substituindo
por 0,3 na função de densidade conjunta:
Passo 5
Agora, vamos calcular a densidade marginal
, que é a integral de
em relação a
de 0 a 1:
Passo 6
Vamos resolver essa integral:
Calculando cada integral separadamente:
Então:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar a função de densidade condicional
:
Passo 8
Agora, queremos a probabilidade de
dado
. Isso é calculado integrando a densidade condicional de
de 0,8 a 1:
Passo 9
Vamos resolver essa integral:
Calculando cada integral separadamente:
Então:
Resposta
A probabilidade do escore em matemática ser maior que 0,8, dado que o escore em música foi 0,3, é aproximadamente 0,2842 (ou 28,42%).