Sejam A, B e C eventos de um espaço de probabilidade (Omega, P) tais que P(A)= ^1 2, P(B)= ^1 3, P(C)= ^1 4, P(A cap B)= ^1, P(A cap C)= 6 e r P(B cap C)=0. Calcule: P((A cap B) cup C).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de Probabilidade, especificamente envolvendo eventos e suas interseções e uniões. Precisamos calcular a probabilidade de $ P((A \cap B) \cup C) $ usando as probabilidades dadas para os eventos A, B, C e suas interseções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa $ A \cap B $ e $ (A \cap B) \cup C $.
  • $ A \cap B $ é a interseção dos eventos A e B, ou seja, ocorre quando A e B acontecem ao mesmo tempo.
  • $ (A \cap B) \cup C $ é a união entre $ A \cap B $ e C, ou seja, ocorre quando ou $ A \cap B $ ou C acontece.

Passo 3

Para calcular $ P((A \cap B) \cup C) $, vamos usar a fórmula de probabilidade para a união de dois eventos:
P((A cap B) cup C)
Aqui, $ X = A \cap B $ e $ Y = C $. Então, substituindo na fórmula:
P(X cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X cap Y)

Passo 4

Agora, vamos identificar os valores que já conhecemos:
  • $ P(A \cap B) = \frac{1}{6} $
  • $ P© = \frac{1}{4} $
Precisamos descobrir $ P((A \cap B) \cap C) $. Observe que $ (A \cap B) \cap C $ é a interseção dos três eventos A, B e C, ou seja, a probabilidade de A e B e C acontecerem juntos.

Passo 5

No entanto, vimos que $ P(B \cap C) = 0 $, o que significa que B e C são eventos mutuamente exclusivos; eles não acontecem ao mesmo tempo. Portanto, a interseção $ A \cap B \cap C $ também será zero, já que B e C nunca ocorrem juntos. Assim:
P(B cap C) = 0

Passo 6

Agora, substituindo os valores na fórmula original:
P((A cap B) cup C) = 16 + 14 - 0 = 16 + 14
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 12:
16 = 212 e 14 = 312
Então:
212 + 312 = 512

Resposta

A probabilidade de $ P((A \cap B) \cup C) $ é $ \frac{5}{12} $.

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