Sejam A, B e
eventos de um espaço de probabilidade
tais que
. Calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de Probabilidade, especificamente envolvendo eventos e suas interseções e uniões. Precisamos calcular a probabilidade de $ P((A \cap B) \cup C) $ usando as probabilidades dadas para os eventos A, B, C e suas interseções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa $ A \cap B $ e $ (A \cap B) \cup C $.
- $ A \cap B $ é a interseção dos eventos A e B, ou seja, ocorre quando A e B acontecem ao mesmo tempo.
- $ (A \cap B) \cup C $ é a união entre $ A \cap B $ e C, ou seja, ocorre quando ou $ A \cap B $ ou C acontece.
Passo 3
Para calcular $ P((A \cap B) \cup C) $, vamos usar a fórmula de probabilidade para a união de dois eventos:
Aqui, $ X = A \cap B $ e $ Y = C $. Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos identificar os valores que já conhecemos:
- $ P(A \cap B) = \frac{1}{6} $
- $ P© = \frac{1}{4} $
Precisamos descobrir $ P((A \cap B) \cap C) $. Observe que $ (A \cap B) \cap C $ é a interseção dos três eventos A, B e C, ou seja, a probabilidade de A e B e C acontecerem juntos.
Passo 5
No entanto, vimos que $ P(B \cap C) = 0 $, o que significa que B e C são eventos mutuamente exclusivos; eles não acontecem ao mesmo tempo. Portanto, a interseção $ A \cap B \cap C $ também será zero, já que B e C nunca ocorrem juntos. Assim:
Passo 6
Agora, substituindo os valores na fórmula original:
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 12:
Então:
Resposta
A probabilidade de $ P((A \cap B) \cup C) $ é $ \frac{5}{12} $.