Sejam a, b, c inteiros. Nos itens a seguir, prove se for verdadeiro e dê um contra-exemplo se for falso.
(a) Se d é inteiro positivo e d divide a^{2} então d divide a.

Passo 1

O enunciado (item (a)) dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Informação dada: d é inteiro positivo e d divide a^{2} (isto é, d\mid a^{2}).
  • Pergunta: É verdade que então d divide a (isto é, d\mid a)? Precisa-se provar se a afirmação for verdadeira, ou fornecer um contraexemplo se for falsa.

Passo 2

Vou primeiro explicar um fato básico e muito usado em problemas assim, porque ele ajuda a entender por que a afirmação pode falhar: se p é um número primo e p\mid a^{2}, então p\mid a.
Explicação / prova desse fato (bem didática):
  • A propriedade de primos que usamos é a seguinte: se p é primo e p\mid xy para inteiros x,y, então p\mid x ou p\mid y. Isso é o Lema de Euclides.
  • Aplique o Lema de Euclides com x=a e y=a. Se p\mid a^{2} = a\cdot a, então pelo lema p\mid a (porque o produto é a\cdot a, e o lema dá que p divide ao menos um dos fatores — aqui ambos são iguais a a — logo p\mid a).
  • Conclusão: para primos p temos sempre p\mid a^{2}\Rightarrow p\mid a.

Passo 3

Agora vamos testar a afirmação geral com um exemplo simples para ver se ela é verdadeira para todo inteiro d.
Escolha d=4 e a=2.
  • Calcule a^{2}: temos a^{2}=2^{2}=4.
  • Verifique divisibilidade: d=4 divide a^{2}=4, então 4\mid 2^{2} é verdadeiro.
  • Verifique se d divide a: queremos ver se 4\mid 2. Mas 2 não é múltiplo de 4, então 4\nmid 2.
Portanto, com d=4 e a=2 temos d\mid a^{2} mas d\nmid a. Isso é um contraexemplo que mostra que a afirmação original (para todo d inteiro positivo) é falsa.

Passo 4

Comentário didático sobre por que o contraexemplo funciona: o problema surge quando d tem fatores primos com potência maior do que 1. No exemplo d=4 temos 4=2^{2}. O fato de 2^{2}\mid a^{2} não garante que 2^{2}\mid a — apenas garante que 2\mid a.

Passo 5

Agora dou uma caracterização útil — que explica quando a afirmação é verdadeira:
  • Escreva a fatoração em primos de d:
d=\prod_{i} p_{i}^{\alpha_{i}},
onde os p_{i} são primos distintos e os \alpha_{i} são inteiros positivos.
  • Para um inteiro a, escrevendo a fatoração de a em primos com expoentes \beta_{i} (pelo Teorema Fundamental da Aritmética), o quadrado tem expoentes 2\beta_{i}. Assim, d\mid a^{2} equivale a exigir, para todo i,
\alpha_{i}\le 2\beta_{i}.
Isso é o mesmo que \beta_{i}\ge \lceil \alpha_{i}/2\rceil.
  • d\mid a equivale a exigir \alpha_{i}\le \beta_{i} para todo i.
  • Comparando as duas condições, vemos que sempre que algum \alpha_{i}\ge 2 (ou seja, quando algum primo aparece em d com potência pelo menos 2), é possível ter \alpha_{i}\le 2\beta_{i} sem que \alpha_{i}\le\beta_{i}. Em particular, escolher \beta_{i}=\lceil \alpha_{i}/2\rceil garante d\mid a^{2} mas não garante d\mid a se \alpha_{i}\ge 2.
  • Conclusão: a propriedade “se d\mid a^{2} então d\mid a para todo inteiro a” ocorre precisamente quando todos os \alpha_{i} são 0 ou 1; isto é, quando d é quadrado-livre (squarefree) — ou seja, nenhum primo aparece com expoente maior que 1 na fatoração de d.

Passo 6

Resumo e incentivo final (rápido): a afirmação pedida no enunciado é falsa em geral; a razão é que fatores primos ao quadrado em d permitem contraexemplos simples (como d=4, a=2). Se precisar, posso agora listar mais exemplos ou fazer exercícios parecidos para fixar a ideia — você consegue entender por que primos se comportam diferente aqui?

Resposta

Falso. Contraexemplo: d=4, a=2 (pois 4\mid 2^{2} e 4\nmid 2).

Exercícios relacionados