Sejam
inteiros. Nos itens a seguir, prove se for verdadeiro e dê um contra-exemplo se for falso.
(a) Se
é inteiro positivo e
divide
então
divide
.
(a) Se
Passo 1
O enunciado (item (a)) dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Informação dada:
é inteiro positivo e divide (isto é, ). - Pergunta: É verdade que então
divide (isto é, )? Precisa-se provar se a afirmação for verdadeira, ou fornecer um contraexemplo se for falsa.
Passo 2
Vou primeiro explicar um fato básico e muito usado em problemas assim, porque ele ajuda a entender por que a afirmação pode falhar: se
é um número primo e
, então
.
Explicação / prova desse fato (bem didática):
- A propriedade de primos que usamos é a seguinte: se
é primo e para inteiros , então ou . Isso é o Lema de Euclides. - Aplique o Lema de Euclides com
e . Se , então pelo lema (porque o produto é , e o lema dá que divide ao menos um dos fatores — aqui ambos são iguais a — logo ). - Conclusão: para primos
temos sempre .
Passo 3
Agora vamos testar a afirmação geral com um exemplo simples para ver se ela é verdadeira para todo inteiro
.
Escolha
e
.
- Calcule
: temos . - Verifique divisibilidade:
divide , então é verdadeiro. - Verifique se
divide : queremos ver se . Mas não é múltiplo de , então .
Portanto, com
e
temos
mas
. Isso é um contraexemplo que mostra que a afirmação original (para todo
inteiro positivo) é falsa.
Passo 4
Comentário didático sobre por que o contraexemplo funciona: o problema surge quando
tem fatores primos com potência maior do que
. No exemplo
temos
. O fato de
não garante que
— apenas garante que
.
Passo 5
Agora dou uma caracterização útil — que explica quando a afirmação é verdadeira:
- Escreva a fatoração em primos de
:
onde os
são primos distintos e os
são inteiros positivos.
- Para um inteiro
, escrevendo a fatoração de em primos com expoentes (pelo Teorema Fundamental da Aritmética), o quadrado tem expoentes . Assim, equivale a exigir, para todo ,
Isso é o mesmo que
.
-
Já
equivale a exigir para todo . -
Comparando as duas condições, vemos que sempre que algum
(ou seja, quando algum primo aparece em com potência pelo menos ), é possível ter sem que . Em particular, escolher garante mas não garante se . -
Conclusão: a propriedade “se
então para todo inteiro ” ocorre precisamente quando todos os são ou ; isto é, quando é quadrado-livre (squarefree) — ou seja, nenhum primo aparece com expoente maior que na fatoração de .
Passo 6
Resumo e incentivo final (rápido): a afirmação pedida no enunciado é falsa em geral; a razão é que fatores primos ao quadrado em
permitem contraexemplos simples (como
,
). Se precisar, posso agora listar mais exemplos ou fazer exercícios parecidos para fixar a ideia — você consegue entender por que primos se comportam diferente aqui?
Resposta
Falso. Contraexemplo:
,
(pois
e
).