Sejam A, B e C matrizes da mesma ordem. Determine uma possível solução X nas seguintes equações matriciais, justificar
X \cdot A=k X+B, onde k \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação matricial
X \,A = k\,X + B
onde A, B e X são matrizes quadradas da mesma ordem e k\in\mathbb{R}.
O conteúdo é Álgebra Linear: tratar equações lineares em matrizes, usando fatoração e inversão.

Passo 2

Reescrevemos a equação agrupando os termos que envolvem X de um lado. Partindo de
X\,A = k\,X + B
subtraímos k\,X de ambos os lados para obter
X\,A - k\,X = B.

Passo 3

Fatoramos X à direita em ambos os termos do lado esquerdo. Como k é escalar, k\,X = X\,(kI). Logo
X\,A - X\,(kI) = B
e, por distributividade à direita,
X\,(A - kI) = B.

Passo 4

Para isolar X, precisamos que a matriz A - kI seja invertível, ou seja, \det(A - kI)\neq0. Nesse caso, multiplicamos à direita por (A - kI)^{-1} e obtemos
X = B\,(A - kI)^{-1}.

Resposta

Uma solução possível é
X = B\,(A - kI)^{-1},
válida sempre que \det(A - kI)\neq0.

Exercícios relacionados