Sejam a, b e c números reais. Escreva cada sistema em sua forma matricial A \cdot X=B, calcule a matriz inversa A^{-1} e determine X. Observe que X=A^{-1} \cdot B.
\left\{\begin{array}{c}-x+2 y-3 z=a \\\\ 2 x+y=b \\\\ 4 x-2 y+5 z=c .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com três incógnitas (x,y,z) e parâmetros (a,b,c). Precisamos escrever na forma matricial A\cdot X = B, calcular a inversa A^{-1} e, em seguida, obter X = A^{-1}B. O conteúdo envolve operações com matrizes, determinante e adjunta.

Passo 2

Identificamos a matriz de coeficientes A, o vetor de incógnitas X e o vetor de termos independentes B:
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 4 & -2 & 5 \end{pmatrix},\quad X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) = (-1)\det\begin{pmatrix}1&0\\\ -2&5\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}2&0\\\ 4&5\end{pmatrix} +(-3)\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 4&-2\end{pmatrix} = -5 -20 +24 = -1.
Como \det(A)=-1\neq0, a matriz é invertível.

Passo 4

Para obter A^{-1}, calculamos a matriz de cofatores e transpondo-a temos a adjunta. Os cofatores formam
\mathrm{Cof}(A)= \begin{pmatrix} 5 & -10 & -8\\\\ -4 & 7 & 6\\\\ 3 & -6 & -5 \end{pmatrix},
de onde
\operatorname{adj}(A) =\bigl(\mathrm{Cof}(A)\bigr)^{T} =\begin{pmatrix} 5 & -4 & 3\\\\ -10 & 7 & -6\\\\ -8 & 6 & -5 \end{pmatrix}, \quad A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A) =-1\cdot\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} -5 & 4 & -3\\\\ 10 & -7 & 6\\\\ 8 & -6 & 5 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora calculamos X = A^{-1}B:
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 4 & -3\\\\ 10 & -7 & 6\\\\ 8 & -6 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5a + 4b - 3c\\\\ 10a - 7b + 6c\\\\ 8a - 6b + 5c \end{pmatrix}.

Resposta

A forma matricial é
A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 4 & -2 & 5 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}.
A inversa é
A^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & 4 & -3\\\\ 10 & -7 & 6\\\\ 8 & -6 & 5 \end{pmatrix},
e a solução do sistema é
x = -5a + 4b - 3c,\quad y = 10a - 7b + 6c,\quad z = 8a - 6b + 5c.

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