Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
Se A e B são matrizes simétricas, então A B é simétrica.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes quadradas A e B simétricas, o produto AB é necessariamente simétrico. O conteúdo aqui é usar a propriedade da transposta de um produto e a definição de matriz simétrica.

Passo 2

Lembramos que, para quaisquer matrizes compatíveis,
(AB)^T = B^T A^T
Se A e B são simétricas, então A^T = A e B^T = B, de modo que
(AB)^T = B,A
Portanto AB é simétrica se, e somente se,
(AB)^T = AB Long<=ftrightarrow BA = AB,
ou seja, se A e B comutam.

Passo 3

Em geral duas matrizes simétricas não precisam comutar. Logo a proposição é falsa: “ A e B simétricas not!!implies AB simétrica” em todos os casos.

Passo 4

Um contraexemplo em 2times 2:
A = 1 & 0 0 & 2, B = 0 & 1 1 & 0
Ambas são simétricas. Calculamos
AB = 1cdot 0 + 0cdot 1 & 1cdot 1 + 0cdot 0 0cdot 0 + 2cdot 1 & 0cdot 1 + 2cdot 0 = 0 & 1 2 & 0,
enquanto
(AB)^T = 0 & 2 1 & 0 neq AB
Logo AB não é simétrica.

Resposta

F.

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