Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
Se e são matrizes simétricas, então é simétrica.
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas duas matrizes quadradas e simétricas, o produto é necessariamente simétrico. O conteúdo aqui é usar a propriedade da transposta de um produto e a definição de matriz simétrica.
Passo 2
Lembramos que, para quaisquer matrizes compatíveis,
Se e são simétricas, então e , de modo que
Portanto é simétrica se, e somente se,
ou seja, se e comutam.
Passo 3
Em geral duas matrizes simétricas não precisam comutar. Logo a proposição é falsa: “ e simétricas simétrica” em todos os casos.