Sejam
matrizes quadradas da mesma ordem e invertíveis. Em cada caso, determine uma solução
em função de
e
. Indique se a solução é única ou não.
Passo 1
O enunciado diz que
,
e
são matrizes quadradas invertíveis da mesma ordem e pede para resolver
em função de
,
e
. O conteúdo usado será manipulação de equações matriciais, aproveitando que
e
são invertíveis para “isolar”
.
Passo 2
Como
é invertível, multiplico a equação original à esquerda por
, obtendo
ou seja
Passo 3
Agora, como
também é invertível, multiplico à direita por
, o que dá
Passo 4
Levo tudo para um lado e fatoro
Em anéis de matrizes não há “cancelamento” geral, então a equação
admite vários
. Em particular, duas soluções claras são
Mas existem outras soluções não triviais (por exemplo, matrizes nilpotentes ou projeções que façam
). Logo a solução não é única.
Resposta
As soluções de
são todas as matrizes
que satisfazem
Em particular,
e
funcionam, e a solução não é única.