Sejam A, B, C matrizes quadradas da mesma ordem e invertíveis. Em cada caso, determine uma solução X em função de A, B e C. Indique se a solução é única ou não.
A X^2 C=A X B C

Passo 1

O enunciado diz que A, B e C são matrizes quadradas invertíveis da mesma ordem e pede para resolver
A,X^2,C ;=; A,X,B,C
em função de A, B e C. O conteúdo usado será manipulação de equações matriciais, aproveitando que A e C são invertíveis para “isolar” X.

Passo 2

Como A é invertível, multiplico a equação original à esquerda por A^-1, obtendo
A^-1(A,X^2,C) ;=; A^-1(A,X,B,C)
ou seja
X^2,C ;=; X,B,C

Passo 3

Agora, como C também é invertível, multiplico à direita por C^-1, o que dá
X^2;=;X,B

Passo 4

Levo tudo para um lado e fatoro
X^2-X,B ;=;0 Longrightarrow X,(X-B)=0
Em anéis de matrizes não há “cancelamento” geral, então a equação X,(X-B)=0 admite vários X. Em particular, duas soluções claras são
X=0 e X=B
Mas existem outras soluções não triviais (por exemplo, matrizes nilpotentes ou projeções que façam X(X-B)=0). Logo a solução não é única.

Resposta

As soluções de
A,X^2,C ;=; A,X,B,C
são todas as matrizes X que satisfazem
X,(X-B)=0
Em particular, X=0 e X=B funcionam, e a solução não é única.

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