Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n. Determine se as seguintes proposições são V ou F , justificando se verdadeiras, dando exemplo de falsidade se falsas.
A^2-B^2=(A+B)(A-B)

Passo 1

O enunciado considera matrizes quadradas A e B de ordem n e pergunta se vale a igualdade
A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)
O conteúdo envolvido é álgebra de matrizes e a não comutatividade da multiplicação.

Passo 2

Calculamos o produto
(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2
Como em geral AB neq BA, esta expressão difere de A^2 - B^2.

Passo 3

Concluímos que a identidade só é válida se e somente se AB=BA. Para matrizes arbitrárias que não comutam, a proposição é falsa.

Passo 4

Exemplo de falsidade. Sejam
A = 0 & 1 0 & 0, B = 0 & 0 1 & 0
Então
A^2 = 0, B^2 = 0, AB = 1 & 0 0 & 0, BA = 0,
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A^2 - B^2 = 0
enquanto
(A+B)(A-B) = -,AB = -1 & 0 0 & 0neq 0

Resposta

F

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