Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem
. Determine se as seguintes proposições são V ou F , justificando se verdadeiras, dando exemplo de falsidade se falsas.
Se A e B são tais que
então
.
Se A e B são tais que
Passo 1
O enunciado diz: sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Queremos saber se a afirmação
é verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo envolvido é o estudo de divisores de zero em anéis de matrizes, lembrando que a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral.
Passo 2
Em um anel comutativo (por exemplo, números reais), se o produto de dois elementos é zero, então um deles é zero ou o outro é zero. Porém, o conjunto das matrizes quadradas forma um anel não comutativo e admite divisores de zero não triviais, ou seja, pares
com
,
mas
. Nesses casos, nada garante que
também seja zero.
Passo 3
Para mostrar que a proposição é falsa, basta dar um contraexemplo em dimensão
. Defina
Passo 4
Calculemos primeiro
:
Logo,
. Agora calculemos
:
que não é a matriz nula.]
Resposta
F (falsa).
Contraexemplo em :
Contraexemplo em