Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n. Determine se as seguintes proposições são V ou F , justificando se verdadeiras, dando exemplo de falsidade se falsas.
Se A e B são tais que A B=0 então B A=0.

Passo 1

O enunciado diz: sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Queremos saber se a afirmação
AB = 0 Longrightarrow BA = 0
é verdadeira (V) ou falsa (F). O conteúdo envolvido é o estudo de divisores de zero em anéis de matrizes, lembrando que a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral.

Passo 2

Em um anel comutativo (por exemplo, números reais), se o produto de dois elementos é zero, então um deles é zero ou o outro é zero. Porém, o conjunto das matrizes quadradas forma um anel não comutativo e admite divisores de zero não triviais, ou seja, pares (A,B) com Aneq0, Bneq0 mas AB=0. Nesses casos, nada garante que BA também seja zero.

Passo 3

Para mostrar que a proposição é falsa, basta dar um contraexemplo em dimensão 2. Defina
A = 1 & 0 [6pt]0 & 0, B = 0 & 0 [6pt]1 & 0 ]

Passo 4

Calculemos primeiro AB:
AB = 1 & 0 [3pt]0 & 0 0 & 0 [3pt]1 & 0 = 1cdot0 + 0cdot1 & 1cdot0 + 0cdot0 [6pt] 0cdot0 + 0cdot1 & 0cdot0 + 0cdot0 = 0 & 0 [3pt]0 & 0
Logo, AB=0. Agora calculemos BA:
BA = 0 & 0 [3pt]1 & 0 1 & 0 [3pt]0 & 0 = 0cdot1 + 0cdot0 & 0cdot0 + 0cdot0 [6pt] 1cdot1 + 0cdot0 & 1cdot0 + 0cdot0 = 0 & 0 [3pt]1 & 0,
que não é a matriz nula.]

Resposta

F (falsa).
Contraexemplo em n=2:
A = 1 & 0 0 & 0, B = 0 & 0 1 & 0 satisfazem AB=0 e BAneq0

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