Sejam a, b e c números reais. Escreva cada sistema em sua forma matricial A \cdot X=B, calcule a matriz inversa A^{-1} e determine X. Observe que X=A^{-1} \cdot B.
\left\{\begin{array}{c}x+y+2 z=a \\\ x+2 y+5 z=b \\\ x+3 y+7 z=c .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o sistema
\begin{cases} x+y+2z=a,\\\ x+2y+5z=b,\\\ x+3y+7z=c \end{cases}
na forma matricial A\cdot X=B, calcular a inversa A^{-1} e, por fim, determinar X=A^{-1}B. Vamos usar conceitos de matriz inversa via adjunta e determinante.

Passo 2

Em forma matricial temos
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 5\\\\ 1 & 3 & 7 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}2&5\\\ 3&7\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&5\\\ 1&7\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&3\end{pmatrix} =1\,(14-15)-1\,(7-5)+2\,(3-2) =-1-2+2=-1.

Passo 4

Usamos
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A).
Calculando a matriz de cofatores e transpondo, obtemos
\mathrm{adj}(A) =\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\\\ -2 & 5 & -3\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix},
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A^{-1} =\frac{1}{-1}\, \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\\\ -2 & 5 & -3\\\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & -5 & 3\\\\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente,
X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 2 & -5 & 3\\\\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b-c\\\\ 2a-5b+3c\\\\ -a+2b-c \end{pmatrix}.

Resposta

A=\begin{pmatrix}1&1&2\\\ 1&2&5\\\ 1&3&7\end{pmatrix},\quad A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&-1\\\ 2&-5&3\\\ -1&2&-1\end{pmatrix},
\boxed{x=a+b-c,\quad y=2a-5b+3c,\quad z=-a+2b-c.}

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