Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
Se A subseteq B, então P(A) subseteq P(B).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sempre que temos A subseteq B, vale também P(A) subseteq P(B).
Conteúdo: teoria de conjuntos, definição de conjunto potência e relação de inclusão.

Passo 2

Para provar P(A) subseteq P(B), tomamos um elemento qualquer de P(A). Seja X in P(A).
Pela definição de conjunto potência, X in P(A) significa que
X subseteq A
Mas como A subseteq B por hipótese, a relação de inclusão é transitiva, isto é,
X subseteq A subseteq B Longrightarrow X subseteq B
E X subseteq B implica X in P(B). Como X foi um elemento arbitrário de P(A), concluímos que todo elemento de P(A) está em P(B), ou seja,
P(A) subseteq P(B)

Resposta

A afirmação é verdadeira, e a inclusão P(A)subseteq P(B) resulta diretamente da definição de conjunto potência e da transitividade da inclusão.

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