Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sempre que temos
, vale também
.
Conteúdo: teoria de conjuntos, definição de conjunto potência e relação de inclusão.
Conteúdo: teoria de conjuntos, definição de conjunto potência e relação de inclusão.
Passo 2
Para provar
, tomamos um elemento qualquer de
. Seja
.
Pela definição de conjunto potência, significa que
Pela definição de conjunto potência,
Mas como
por hipótese, a relação de inclusão é transitiva, isto é,
E
implica
. Como
foi um elemento arbitrário de
, concluímos que todo elemento de
está em
, ou seja,
Resposta
A afirmação é verdadeira, e a inclusão
resulta diretamente da definição de conjunto potência e da transitividade da inclusão.