Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto Omega. Demonstre as afirmações verdadeiras e dê contra-exemplo para as falsas:
(A cup B)-C=(A-C) cup(B-C).

Passo 1

O enunciado pede para analisar a igualdade de conjuntos
(Acup B)setminus C ;=; (Asetminus C);cup;(Bsetminus C)
O conteúdo é operações com conjuntos (união e diferença). Para provar que dois conjuntos são iguais, vamos mostrar a inclusão em ambos os sentidos.

Passo 2

Mostramos primeiro (Acup B)setminus Csubseteq (Asetminus C)cup(Bsetminus C). Seja xin (Acup B)setminus C.
Então
  1. xin Acup B, e
  2. xnotin C.
    Da primeira parte segue que ou xin A ou xin B. Em ambos os casos, junto com xnotin C, obtemos ou xin Asetminus C ou xin Bsetminus C. Logo
xin (Asetminus C)cup(Bsetminus C)

Passo 3

Agora mostramos (Asetminus C)cup(Bsetminus C)subseteq (Acup B)setminus C. Seja xin (Asetminus C)cup(Bsetminus C).
Então ou
  • xin Asetminus C, isto é, xin A e xnotin C,
    ou
  • xin Bsetminus C, isto é, xin B e xnotin C.
    Em qualquer dos casos temos xin Acup B e xnotin C, o que significa xin (Acup B)setminus C.

Resposta

A igualdade
(Acup B)setminus C = (Asetminus C)cup(Bsetminus C)
é verdadeira.

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