Sobre Sistemas Lineares
Defina: Equação Linear; Sistema Linear e Sistema Linear Escalonado.
Defina: Equação Linear; Sistema Linear e Sistema Linear Escalonado.
Passo 1
O enunciado pede três definições básicas de Álgebra Linear: (1) o que é uma equação linear, (2) o que é um sistema linear e (3) o que é um sistema linear escalonado. Para isso, vamos usar a ideia de combinação linear de variáveis, coeficientes e estrutura de um conjunto de equações.
Passo 2
Uma equação linear em
variáveis é uma igualdade da forma
onde cada
(coeficiente) e
(termo independente) são números (ou elementos de um corpo) e
são as incógnitas. O ponto-chave é que cada incógnita aparece apenas no primeiro grau e não há produtos entre elas nem funções não lineares.
Passo 3
Um sistema linear é um conjunto finito de equações lineares envolvendo as mesmas variáveis. Por exemplo, um sistema com
A solução do sistema é o vetor ((x_{1},\dots,x_{n})] que satisfaz simultaneamente todas as equações.
Passo 4
Um sistema linear escalonado (na forma de escalonamento por linhas) é um sistema organizado de modo que:
- Todas as linhas que são completamente nulas (todos os coeficientes zero e termo independente zero) aparecem embaixo.
- Em cada linha não nula, o primeiro coeficiente não zero (chamado de “pivot”) está mais à direita do que o pivot da linha imediatamente acima.
- Abaixo de um pivot todos os coeficientes daquela coluna são zero.
Em outras palavras, ao ler de cima para baixo, cada linha introduz uma nova variável “liderando” a direita da anterior, facilitando a resolução por substituição regressiva.
Resposta
Definições:
Equação Linear
Sistema Linear
Sistema Linear Escalonado