Sobre Sistemas Lineares
Defina: Equação Linear; Sistema Linear e Sistema Linear Escalonado.

Passo 1

O enunciado pede três definições básicas de Álgebra Linear: (1) o que é uma equação linear, (2) o que é um sistema linear e (3) o que é um sistema linear escalonado. Para isso, vamos usar a ideia de combinação linear de variáveis, coeficientes e estrutura de um conjunto de equações.

Passo 2

Uma equação linear em n variáveis é uma igualdade da forma
a1x1 + a2x2 + cdots + anxn = b,
onde cada ai (coeficiente) e b (termo independente) são números (ou elementos de um corpo) e x1,dots,xn são as incógnitas. O ponto-chave é que cada incógnita aparece apenas no primeiro grau e não há produtos entre elas nem funções não lineares.

Passo 3

Um sistema linear é um conjunto finito de equações lineares envolvendo as mesmas variáveis. Por exemplo, um sistema com
A solução do sistema é o vetor ((x_{1},\dots,x_{n})] que satisfaz simultaneamente todas as equações.

Passo 4

Um sistema linear escalonado (na forma de escalonamento por linhas) é um sistema organizado de modo que:
  1. Todas as linhas que são completamente nulas (todos os coeficientes zero e termo independente zero) aparecem embaixo.
  2. Em cada linha não nula, o primeiro coeficiente não zero (chamado de “pivot”) está mais à direita do que o pivot da linha imediatamente acima.
  3. Abaixo de um pivot todos os coeficientes daquela coluna são zero.
Em outras palavras, ao ler de cima para baixo, cada linha introduz uma nova variável “liderando” a direita da anterior, facilitando a resolução por substituição regressiva.

Resposta

Definições:
Equação Linear
Uma igualdade da forma a1x1 + a2x2 + cdots + anxn = b, onde cada ai e b são constantes e as incógnitas aparecem apenas em grau 1 ãó
Sistema Linear
a11x1 + a12x2 + cdots + a1nxn = b1, a21x1 + a22x2 + cdots + a2nxn = b2, vdots am1x1 + am2x2 + cdots + amnxn = bm
Sistema Linear Escalonado
&(i) Todas as linhas nulas estão abaixo; &(ii) Cada primeiro coeficiente não nulo (pivot) de uma linha fica à direita do pivot da linha anterior; &(iii) Abaixo de cada pivot, todos os coeficientes são zero ããàã

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