Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Prove que:
.
Passo 1
Beleza, o que o enunciado pede é mostrar que, dados três subconjuntos
, vale a identidade
Aqui estamos num contexto de teoria de conjuntos, usando:
-
para denotar o complemento de em , ou seja . -
para denotar a diferença de conjuntos, que é .
Pra resolver, precisamos conhecer:
- Definição de complemento e diferença.
- Lei de De Morgan para complementos (união, interseção).
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever cada termo usando definição:
-
. -
.
Então o lado direito vira
Passo 3
Agora aplicamos a Lei de De Morgan ao complemento de uma interseção:
No nosso caso,
e
. Logo,
[
E\setminus\bigl(B\cap(E\setminus A)\bigr)
\bigl(E\setminus B\bigr)
;\cup;
\bigl(E\setminus(E\setminus A)\bigr).
]
;\cup;
\bigl(E\setminus(E\setminus A)\bigr).
]
Passo 4
Fica então
[
\mathcal{C}_{E}(B - A)
(E\setminus B);\cup;\bigl(E\setminus(E\setminus A)\bigr).
]
Mas reparando que
(complemento do complemento), isso se reduz a
que, por comutatividade da união, é exatamente
[
A;\cup;(E\setminus B)
A;\cup;\mathcal{C}_{E}B.
]
]
Resposta
Portanto, mostramos passo a passo que
[
A\cup(\mathcal{C}_{E}B)
\mathcal{C}_{E}(B-A),
]
]
como era para provar.