Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto E. Prove que:
A cup(CE B)=CE(B-A).

Passo 1

Beleza, o que o enunciado pede é mostrar que, dados três subconjuntos A;cup;l(CEBr);=;CEl(B - Ar) , vale a identidade
Aqui estamos num contexto de teoria de conjuntos, usando:
  • para denotar o complemento de em , ou seja .
  • para denotar a diferença de conjuntos, que é .
    Pra resolver, precisamos conhecer:
  1. Definição de complemento e diferença.
  2. Lei de De Morgan para complementos (união, interseção).

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada termo usando definição:
  1. CE(B - A) ;=; Esetminusl(Bcap(Esetminus A)r) .
  2. .
    Então o lado direito vira

Passo 3

Agora aplicamos a Lei de De Morgan ao complemento de uma interseção:
Esetminusl(Xcap Yr) ;=; (Esetminus X);cup;(Esetminus Y)
No nosso caso, Esetminusl(Bcap(Esetminus A)r) = l(Esetminus Br) ;cup; l(Esetminus(Esetminus A)r) e . Logo,
[
E\setminus\bigl(B\cap(E\setminus A)\bigr)

\bigl(E\setminus B\bigr)
;\cup;
\bigl(E\setminus(E\setminus A)\bigr).
]

Passo 4

Fica então
[
\mathcal{C}_{E}(B - A)

(E\setminus B);\cup;\bigl(E\setminus(E\setminus A)\bigr).
]
Mas reparando que CE(B - A) = (Esetminus B);cup;l(Esetminus(Esetminus A)r) (complemento do complemento), isso se reduz a
(Esetminus B);cup;A,
que, por comutatividade da união, é exatamente
[
A;\cup;(E\setminus B)

A;\cup;\mathcal{C}_{E}B.
]

Resposta

Portanto, mostramos passo a passo que
[
A\cup(\mathcal{C}_{E}B)

\mathcal{C}_{E}(B-A),
]
como era para provar.

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