Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto X. Prove que
\varnothing^{\complement}=X;

Passo 1

O enunciado dá que A, B e C são subconjuntos de um conjunto X e pede para provar que \varnothing^{\complement}=X.
Informações relevantes que temos:
  • X é o universo onde consideramos subconjuntos (ou seja, todos os conjuntos mencionados são subconjuntos de X).
  • \varnothing é o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não possui elementos.
  • Para qualquer subconjunto S\subseteq X, S^{\complement} denota o complemento de S em X, isto é, o conjunto dos elementos de X que não pertencem a S.
    A partir daqui vamos provar formalmente que o complemento do conjunto vazio é o próprio X.

Passo 2

Definição fundamental que vou usar (expliquei antes, mas agora formalizo): para qualquer S\subseteq X define-se
S^{\complement}=\{\,x\in X \mid x\notin S\,\}.
Isto significa: um elemento x pertence a S^{\complement} exatamente quando duas coisas ocorrem simultaneamente — primeiro x pertence a X e segundo x não pertence a S. Essa definição garante que S^{\complement} é sempre um subconjunto de X.

Passo 3

Vou mostrar a inclusão \varnothing^{\complement}\subseteq X.
Tomemos um elemento arbitrário y\in\varnothing^{\complement}. Pela definição do complemento, isso implica que y\in X e y\notin\varnothing. Da afirmação y\in X já segue diretamente que y\in X. Como y foi arbitrário, concluímos que todo elemento de \varnothing^{\complement} pertence a X, ou seja,
\varnothing^{\complement}\subseteq X.
(Observação: esta inclusão é quase tautológica porque o complemento de qualquer subconjunto de X é definido como um subconjunto de X.)

Passo 4

Agora mostro a inclusão oposta X\subseteq\varnothing^{\complement}.
Tomemos um elemento arbitrário x\in X. Queremos verificar que x\in\varnothing^{\complement}. Pela definição de complemento, isso exige que x\notin\varnothing. Mas pela definição do conjunto vazio, nenhum elemento pertence a \varnothing; portanto, para qualquer x em X (ou mesmo para qualquer objeto), a afirmação x\notin\varnothing é verdadeira. Em linguagem lógica isso é um caso de verdade vacuamente verdadeira: a propriedade “pertencer a \varnothing” nunca ocorre, então “não pertence a \varnothing” é sempre satisfeita. Logo x\in\varnothing^{\complement}. Como x foi arbitrário, concluímos
X\subseteq\varnothing^{\complement}.

Passo 5

Unindo as duas inclusões obtidas nos passos anteriores, temos
\varnothing^{\complement}\subseteq X \quad\text{e}\quad X\subseteq\varnothing^{\complement},
o que, por definição de igualdade de conjuntos (duas inclusões mútuas implicam igualdade), nos dá
\varnothing^{\complement}=X.
Um exemplo concreto para fixar: se X=\{1,2,3\}, então \varnothing=\{\} e \varnothing^{\complement}=\{1,2,3\}=X. Isso ilustra na prática o que provamos de forma geral.

Resposta

\varnothing^{\complement}=X

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