Sejam
e
subconjuntos de um conjunto
. Prove que
;
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são subconjuntos de um conjunto
e pede para provar que
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
-
é o universo onde consideramos subconjuntos (ou seja, todos os conjuntos mencionados são subconjuntos de ). -
é o conjunto vazio, isto é, o conjunto que não possui elementos. - Para qualquer subconjunto
, denota o complemento de em , isto é, o conjunto dos elementos de que não pertencem a .
A partir daqui vamos provar formalmente que o complemento do conjunto vazio é o próprio.
Passo 2
Definição fundamental que vou usar (expliquei antes, mas agora formalizo): para qualquer
define-se
Isto significa: um elemento
pertence a
exatamente quando duas coisas ocorrem simultaneamente — primeiro
pertence a
e segundo
não pertence a
. Essa definição garante que
é sempre um subconjunto de
.
Passo 3
Vou mostrar a inclusão
.
Tomemos um elemento arbitrário . Pela definição do complemento, isso implica que
e
. Da afirmação
já segue diretamente que
. Como
foi arbitrário, concluímos que todo elemento de
pertence a
, ou seja,
Tomemos um elemento arbitrário
(Observação: esta inclusão é quase tautológica porque o complemento de qualquer subconjunto de
é definido como um subconjunto de
.)
Passo 4
Agora mostro a inclusão oposta
.
Tomemos um elemento arbitrário . Queremos verificar que
. Pela definição de complemento, isso exige que
. Mas pela definição do conjunto vazio, nenhum elemento pertence a
; portanto, para qualquer
em
(ou mesmo para qualquer objeto), a afirmação
é verdadeira. Em linguagem lógica isso é um caso de verdade vacuamente verdadeira: a propriedade “pertencer a
” nunca ocorre, então “não pertence a
” é sempre satisfeita. Logo
. Como
foi arbitrário, concluímos
Tomemos um elemento arbitrário
Passo 5
Unindo as duas inclusões obtidas nos passos anteriores, temos
o que, por definição de igualdade de conjuntos (duas inclusões mútuas implicam igualdade), nos dá
Um exemplo concreto para fixar: se
, então
e
. Isso ilustra na prática o que provamos de forma geral.