Sejam
, então:
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para quaisquer conjuntos
, vale a equivalência
Aqui vamos usar a definição de subconjunto e a definição de complemento de um conjunto:
-
significa que todo elemento de também está em . -
é o conjunto de todos os elementos de que não estão em .
Passo 2
Mostramos primeiro
.
Suponha . Seja
. Então, por definição de complemento,
.
Como , ter
implica automaticamente
.
Mas é exatamente
.
Portanto, qualquer também pertence a
, o que prova
.
Suponha
Como
Mas
Portanto, qualquer
Passo 3
Agora mostramos
.
Suponha . Para provar
, peguemos
e vamos ver que
deve estar em
.
Se, por absurdo, , então
. Pela hipótese
, isso implicaria
, ou seja,
.
Chegamos a uma contradição, pois assumimos . Logo nossa suposição de que
é falsa, e portanto
.
Como isso vale para todo , concluímos
.
Suponha
Se, por absurdo,
Chegamos a uma contradição, pois assumimos
Como isso vale para todo