Sejam A, B, C \subset \Omega, então:
10 A \subset B \Leftrightarrow B c \subset A c;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para quaisquer conjuntos A,B\subset\Omega, vale a equivalência
A\subset B\;\Leftrightarrow\;B^{c}\subset A^{c}.
Aqui vamos usar a definição de subconjunto e a definição de complemento de um conjunto:
  • A\subset B significa que todo elemento de A também está em B.
  • B^{c}=\Omega\setminus B é o conjunto de todos os elementos de \Omega que não estão em B.

Passo 2

Mostramos primeiro A\subset B\Rightarrow B^{c}\subset A^{c}.
Suponha A\subset B. Seja x\in B^{c}. Então, por definição de complemento, x\notin B.
Como A\subset B, ter x\notin B implica automaticamente x\notin A.
Mas x\notin A é exatamente x\in A^{c}.
Portanto, qualquer x\in B^{c} também pertence a A^{c}, o que prova B^{c}\subset A^{c}.

Passo 3

Agora mostramos B^{c}\subset A^{c}\Rightarrow A\subset B.
Suponha B^{c}\subset A^{c}. Para provar A\subset B, peguemos x\in A e vamos ver que x deve estar em B.
Se, por absurdo, x\notin B, então x\in B^{c}. Pela hipótese B^{c}\subset A^{c}, isso implicaria x\in A^{c}, ou seja, x\notin A.
Chegamos a uma contradição, pois assumimos x\in A. Logo nossa suposição de que x\notin B é falsa, e portanto x\in B.
Como isso vale para todo x\in A, concluímos A\subset B.

Resposta

\displaystyle A\subset B\quad\Leftrightarrow\quad B^{c}\subset A^{c}.

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