Suponha que
. Prove que
e
formam uma partição de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as três partes
e
formam uma partição de . O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos: união, interseção, complemento e definição de partição. Lembrando que uma família de subconjuntos de um conjunto
é uma partição de
se e somente se eles são (i) a união dos subconjuntos dá
e (ii) esses subconjuntos são dois a dois disjuntos.
formam uma partição de
Passo 2
Vamos provar primeiro que
Seja
. Então ou
ou
.
- Se
e , então . - Se
e , então . - Se
e , então .
Logo, todopertence a uma das três partes, provando a inclusão “ ”. A outra inclusão “ ” é imediata porque cada conjunto está contido em .
Passo 3
Agora mostramos que essas três partes são duas a duas disjuntas. Há três interseções a verificar:
(i) ,
(ii) ,
(iii) .
Em (i) aparece o fator , logo a interseção é vazia.
Em (ii) aparece o fator , logo também é vazia.
Em (iii) aparecem simultaneamente e
, sendo igualmente vazia.
Portanto todas as interseções são .
(i)
(ii)
(iii)
Em (i) aparece o fator
Em (ii) aparece o fator
Em (iii) aparecem simultaneamente
Portanto todas as interseções são
Resposta
Concluímos que
é uma partição de .
é uma partição de