Utilize o método da inversa para resolver os sistemas. Primeiro verifique se é possível utilizar este método.
Sejam A=[cc1 & 2 5 & 12], b1=[r-1 3], b2=[r1 -5], b3=[l2 6] e b4=[l3 5]
(a) Determine A^-1 e use-a para resolver as quatro equações
A X=b1, A X=b2, A X=b3, A X=b4
(b) As quatro operações do item (a) podem ser resolvidas pelo mesmo conjunto de operações elementares, já que a matriz dos coeficientes é a mesma. Resolva as quatro operações do item (a) escalonando a matriz aumentada [ lllllA & b1 & b2 & b3 & b4].

Passo 1

O enunciado pede para resolver os sistemas
A X = b1, A X = b2, A X = b3, A X = b4
onde
A = 1 & 2 [6pt] 5 & 12, b1=-1[3pt]3, ; b2=1[3pt]-5, ; b3=2[3pt]6, ; b4=3[3pt]5
Primeiro vamos usar o método da inversa (precisamos calcular det(A) e A^-1), depois faremos o escalonamento da matriz aumentada comum a todas as quatro colunas bj.]

Passo 2

Calcular o determinante de A:
det(A)=1cdot12-2cdot5 = 12-10 = 2 neq 0,
logo A é invertível. Para uma 2times2 temos
A^-1 = 1det(A) a22 & -a12[3pt] -,a21 & a11 = 12 12 & -2[3pt] -5 & 1 ]

Passo 3

Usar Xj = A^-1 bj.
Para b1:
X1 = 12 12 & -2[3pt]-5 & 1 -1[3pt]3 = -9[3pt]4
De modo análogo,
X2 = 11[3pt]-5, X3 = 6[3pt]-2, X4 = 13[3pt]-5 ]

Passo 4

Escalonar a matriz aumentada comum
l[Amid b1mid b2mid b3mid b4r] = 1 & 2 & -1 & 1 & 2 & 3[3pt] 5 & 12 & 3 & -5 & 6 & 5
Fazendo R2 R2-5,R1:
1 & 2 & -1 & 1 & 2 & 3[3pt] 0 & 2 & 8 & -10 & -4 & -10 ,
depois R2 tfrac12R2:
1 & 2 & -1 & 1 & 2 & 3[3pt] 0 & 1 & 4 & -5 & -2 & -5 ,
e por fim R1 R1-2,R2:
1 & 0 & -9 & 11 & 6 & 13[3pt] 0 & 1 & 4 & -5 & -2 & -5
As quatro colunas independentes finais são exatamente os vetores X1,X2,X3,X4 obtidos acima.]

Resposta

(a)
A^-1 = 12 12 & -2[3pt] -5 & 1
As soluções são
X1 = -9[3pt]4, X2 = 11[3pt]-5, X3 = 6[3pt]-2, X4 = 13[3pt]-5
(b)
O escalonamento de l[Amid b1mid b2mid b3mid b4r] leva à forma
1 & 0 & -9 & 11 & 6 & 13[3pt] 0 & 1 & 4 & -5 & -2 & -5 ,
confirmando as mesmas soluções para X1,X2,X3,X4.]

Exercícios relacionados