Sejam a, b constantes. Use a definição de Transformada de Laplace e os teoremas de deslocamento para calcular

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de u_b(t), onde u_b(t)=u(t−b) é o degrau unitário deslocado de b. O conteúdo envolve a definição da transformada de Laplace e o teorema de deslocamento no tempo.

Passo 2

A definição da transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
Aplicando essa definição a u_b(t)=u(t−b), temos
Lu(t-b)(s)=integral0^inftye^-stu(t-b),dt

Passo 3

Como u(t−b)=0 para t<b e vale 1 para t\ge b, o integral vira
integral0^inftye^-stu(t-b),dt=integralb^inftye^-st,dt
e avaliando:
integralb^inftye^-st,dt=[-e^-sts]t=b^t=infty=0-(-e^-bss)=e^-bss

Passo 4

Usando também o teorema de deslocamento no tempo: se f(t)=h(t−a)u(t−a), então
Lf(t)(s)=e^-asH(s),
onde H(s)=\mathcal{L}{h(t)}(s). Aqui h(t)=1 implica H(s)=1/s, de modo que
Lu(t-b)(s)=e^-bs1s=e^-bss

Resposta

e^-bss

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