Verifique que as funções
a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada
correspondente. Escreva a função holomorfa
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas: verificar que
é harmônica, encontrar a função harmônica conjugada
e escrever a função holomorfa
. Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
e a notação
para a unidade imaginária. Não há outras restrições sobre domínio, então vamos trabalhar em todo o plano
(ou numa região simplesmente conexa) — suficiente para garantir existência local de conjugada harmônica.
Passo 2
Primeiro, o que significa ser harmônica? Uma função
é harmônica se sua Laplaciana é zero. A Laplaciana é a soma das segundas derivadas parciais:
Vamos calcular as derivadas necessárias para
.
Calcule
e
:
Agora as segundas derivadas:
Portanto a Laplaciana é
Conclusão:
é harmônica (porque
).
Passo 3
Agora precisamos achar uma função
tal que
e
satisfaçam as equações de Cauchy–Riemann (essas garantem que
é holomorfa). As equações de Cauchy–Riemann, em termos de
e
, são
Já temos
e
. Use a primeira equação para obter
integrando em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Agora usamos a segunda equação para determinar
. Primeiro calcule
:
As equações de Cauchy–Riemann exigem
. Como
, temos
Comparando com a expressão obtida,
. Integrando em
,
onde
é uma constante real (a conjugada harmônica é determinada à constante aditiva real).
Substituindo em
,
Podemos escolher
se quisermos uma conjugada harmônica específica (a constante adicionada só desloca a parte imaginária da função holomorfa).
Passo 4
Verificação rápida: calcule
e
para checar as Cauchy–Riemann:
logo as equações são satisfeitas e a conjugada está correta.
Agora escrevemos a função holomorfa
. Podemos deixar em coordenadas reais:
É interessante também expressar
diretamente em termos de
. Uma maneira eficiente é calcular
usando
Usando
e
,
Observe que
, então
. Assim
Integrando em
,
onde
é constante complexa (corresponde à constante real
já mencionada, incorporada na forma complexa). Se escolhermos
obtemos a forma polinomial simples:
Expandindo
com
recuperamos exatamente
e
obtidos antes, portanto a expressão está coerente.