Verifique que as funções u(x, y) a seguir são harmônicas e encontre a função harmônica conjugada v(x, y) correspondente. Escreva a função holomorfa f(z)=u(x, y)+j v(x, y).
u(x, y)=2 x-2 x y

Passo 1

O enunciado dá a função \;u(x,y)=2x-2xy\; e pede três coisas: verificar que \;u\; é harmônica, encontrar a função harmônica conjugada \;v(x,y)\; e escrever a função holomorfa \;f(z)=u(x,y)+j\,v(x,y)\;. Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de \;u(x,y)\; e a notação j para a unidade imaginária. Não há outras restrições sobre domínio, então vamos trabalhar em todo o plano \mathbb{R}^2 (ou numa região simplesmente conexa) — suficiente para garantir existência local de conjugada harmônica.

Passo 2

Primeiro, o que significa ser harmônica? Uma função \;u(x,y)\; é harmônica se sua Laplaciana é zero. A Laplaciana é a soma das segundas derivadas parciais:
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}.
Vamos calcular as derivadas necessárias para \;u(x,y)=2x-2xy.
Calcule \;u_x e \;u_y:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(2x-2xy)=2-2y,
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(2x-2xy)=-2x.
Agora as segundas derivadas:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(u_x)=\frac{\partial}{\partial x}(2-2y)=0,
u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(u_y)=\frac{\partial}{\partial y}(-2x)=0.
Portanto a Laplaciana é
\Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0+0=0.
Conclusão: \;u(x,y)\; é harmônica (porque \Delta u=0).

Passo 3

Agora precisamos achar uma função v(x,y) tal que u e v satisfaçam as equações de Cauchy–Riemann (essas garantem que u+ j v é holomorfa). As equações de Cauchy–Riemann, em termos de u e v, são
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Já temos u_x=2-2y e u_y=-2x. Use a primeira equação para obter v integrando em relação a y:
v_y = u_x = 2-2y \quad\Longrightarrow\quad v(x,y)=\int (2-2y)\,dy = 2y - y^2 + h(x),
onde h(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y).
Agora usamos a segunda equação para determinar h(x). Primeiro calcule v_x:
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(2y - y^2 + h(x)\big) = h'(x).
As equações de Cauchy–Riemann exigem u_y = -v_x. Como u_y=-2x, temos
-2x = -v_x \quad\Longrightarrow\quad v_x = 2x.
Comparando com a expressão obtida, h'(x)=2x. Integrando em x,
h(x)=\int 2x\,dx = x^2 + C,
onde C é uma constante real (a conjugada harmônica é determinada à constante aditiva real).
Substituindo em v,
v(x,y)=2y - y^2 + x^2 + C.
Podemos escolher C=0 se quisermos uma conjugada harmônica específica (a constante adicionada só desloca a parte imaginária da função holomorfa).

Passo 4

Verificação rápida: calcule v_y e v_x para checar as Cauchy–Riemann:
v_y = 2 - 2y = u_x,\qquad v_x = 2x = -u_y,
logo as equações são satisfeitas e a conjugada está correta.
Agora escrevemos a função holomorfa f(z)=u+ j v. Podemos deixar em coordenadas reais:
f(z)=u(x,y)+ j\,v(x,y) = \big(2x-2xy\big) + j\big(x^2+2y-y^2+C\big).
É interessante também expressar f diretamente em termos de z=x+jy. Uma maneira eficiente é calcular f'(z) usando
f'(z)=u_x + j v_x.
Usando u_x=2-2y e v_x=2x,
f'(z) = (2-2y) + j(2x) = 2\big(1 - y + j x\big).
Observe que jz = j(x+jy)=j x - y, então 1 - y + j x = 1 + jz. Assim
f'(z)=2(1+jz)=2+2jz.
Integrando em z,
f(z)=\int(2+2jz)\,dz = 2z + j z^2 + C',
onde C' é constante complexa (corresponde à constante real C já mencionada, incorporada na forma complexa). Se escolhermos C'=0 obtemos a forma polinomial simples:
f(z)=j z^2 + 2z.
Expandindo j z^2 + 2z com z=x+jy recuperamos exatamente u e v obtidos antes, portanto a expressão está coerente.

Resposta

\;u(x,y)=2x-2xy é harmônica (pois \Delta u=0).\n
\;v(x,y)=x^2+2y-y^2+C (constante C\in\mathbb{R}).\n
\;f(z)=u(x,y)+jv(x,y)=jz^2+2z+C' (com C' constante complexa; tomando C'=0, \;f(z)=jz^2+2z).

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