Sejam A e B dois eventos em um dado espaço amostral, tais que \mathrm{P}(\mathrm{A})=0,2 ; \mathrm{P}(\mathrm{B})=p ; \mathrm{P}(\mathrm{AUB})= 0,5 e \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=0,1.
a) Determine o valor de p.
b) Determine \mathrm{P}\left(\mathrm{A}^{c}\right) e \mathrm{P}\left(\mathrm{B}^{c}\right).
c) Determine \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})^{\mathrm{c}}.

Passo 1

O enunciado dá dois eventos A e B com \;P(A)=0,2,\;P(B)=p,\;P(A\cup B)=0,5 e \;P(A\cap B)=0,1.
Vamos usar:
– Regra da adição para união de eventos.
– Regra do complementar.

Passo 2

Pela regra da adição temos
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Substituindo os valores conhecidos,
0,5 = 0,2 + p - 0,1
0,5 = p + 0,1
p = 0,5 - 0,1 = 0,4.

Passo 3

Para os complementares usamos P(A^c)=1-P(A) e P(B^c)=1-P(B).
Logo,
P(A^c)=1-0,2=0,8,
P(B^c)=1-0,4=0,6.

Passo 4

Para o complementar de uma interseção vale
P\bigl((A\cap B)^c\bigr)=1-P(A\cap B).
Assim,
P\bigl((A\cap B)^c\bigr)=1-0,1=0,9.

Resposta

a) p=0,4
b) P(A^c)=0,8 e P(B^c)=0,6
c) P\bigl((A\cap B)^c\bigr)=0,9

Exercícios relacionados