Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com
e variância
(isto é,
, calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
a. Entre 50 kg e 51 kg .
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com
a. Entre 50 kg e 51 kg .
Passo 1
Resumo do problema e conteúdo necessário:
Estamos lidando com um processo de ensacamento que segue uma distribuição normal com média (μ) de 50 kg e variância (σ²) de 0,25 kg². Precisamos calcular a probabilidade de que um saco, escolhido aleatoriamente, tenha um peso entre 50 kg e 51 kg. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e padronização.
Passo 2
Identificando os parâmetros da distribuição:
- Média (μ): 50 kg
- Variância (σ²): 0,25 kg²
Para facilitar nossos cálculos, vamos encontrar o desvio padrão (σ), que é a raiz quadrada da variância:
Passo 3
Definindo o que queremos calcular:
Queremos encontrar a probabilidade de que um saco tenha um peso entre 50 kg e 51 kg, ou seja:
Passo 4
Padronizando a variável X para Z:
Para usar a tabela da distribuição normal, precisamos converter o valor de X para a variável padrão Z usando a fórmula de padronização:
Vamos calcular Z para X = 50 kg e X = 51 kg.
- Para X = 50 kg:
- Para X = 51 kg:
Passo 5
Usando a tabela da distribuição normal:
Agora, queremos encontrar a probabilidade de Z estar entre 0 e 2, ou seja:
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos:
- $ P(Z \leq 2) \approx 0,9772 $
- $ P(Z \leq 0) = 0,5 $
Passo 6
Calculando a probabilidade desejada:
A probabilidade de Z estar entre 0 e 2 é a diferença entre as duas probabilidades que encontramos:
Resposta
A probabilidade de que um saco selecionado aleatoriamente contenha entre 50 kg e 51 kg é aproximadamente 47,72%.