Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com mu=50 kg e variância sigma^2=0,25 kg^2 (isto é, X sim N(50 ; 0,25), calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
a. Entre 50 kg e 51 kg .

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo necessário:
Estamos lidando com um processo de ensacamento que segue uma distribuição normal com média (μ) de 50 kg e variância (σ²) de 0,25 kg². Precisamos calcular a probabilidade de que um saco, escolhido aleatoriamente, tenha um peso entre 50 kg e 51 kg. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e padronização.

Passo 2

Identificando os parâmetros da distribuição:
  • Média (μ): 50 kg
  • Variância (σ²): 0,25 kg²
Para facilitar nossos cálculos, vamos encontrar o desvio padrão (σ), que é a raiz quadrada da variância:
sigma = raiz0,25 = 0,5 , kg

Passo 3

Definindo o que queremos calcular:
Queremos encontrar a probabilidade de que um saco tenha um peso entre 50 kg e 51 kg, ou seja:
P(50 <= X <= 51)

Passo 4

Padronizando a variável X para Z:
Para usar a tabela da distribuição normal, precisamos converter o valor de X para a variável padrão Z usando a fórmula de padronização:
Z = X - musigma
Vamos calcular Z para X = 50 kg e X = 51 kg.
  • Para X = 50 kg:
Z1 = 50 - 500,5 = 0
  • Para X = 51 kg:
Z2 = 51 - 500,5 = 2

Passo 5

Usando a tabela da distribuição normal:
Agora, queremos encontrar a probabilidade de Z estar entre 0 e 2, ou seja:
P(0 <= Z <= 2)
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos:
  • $ P(Z \leq 2) \approx 0,9772 $
  • $ P(Z \leq 0) = 0,5 $

Passo 6

Calculando a probabilidade desejada:
A probabilidade de Z estar entre 0 e 2 é a diferença entre as duas probabilidades que encontramos:
P(0 <= Z <= 2) = P(Z <= 2) - P(Z <= 0) approx 0,9772 - 0,5 = 0,4772

Resposta

A probabilidade de que um saco selecionado aleatoriamente contenha entre 50 kg e 51 kg é aproximadamente 47,72%.

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