Sejam B=\left\{u_{1}, \ldots, u_{n}\right\} e B^{\prime}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} bases de um espaço vetorial V. Mostre que é válido
[I]_{B}^{B^{\prime}}=\left([I]_{B^{\prime}}^{B}\right)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para o operador identidade I:V\to V, vale
[I]_{B}^{B'} \;=\;\bigl([I]_{B'}^{B}\bigr)^{-1},
onde B=\{u_{1},\dots,u_{n}\} e B'=\{v_{1},\dots,v_{n}\} são duas bases de V. Vamos usar a interpretação matricial de mudança de base: identificar as matrizes que convertem coordenadas em B para B' e vice-versa, e mostrar que elas são inversas uma da outra.

Passo 2

Defina
P \;=\;[I]_{B}^{B'} \quad\text{e}\quad Q \;=\;[I]_{B'}^{B}.
Por definição, para todo vetor x\in V valem
[x]_{B'} \;=\;P\,[x]_{B}, \qquad [x]_{B} \;=\;Q\,[x]_{B'}.

Passo 3

Substituindo a segunda igualdade na primeira, obtemos
[x]_{B'} \;=\;P\,\bigl(Q\,[x]_{B'}\bigr) \;=\;(P\,Q)\,[x]_{B'}.
Como isso vale para todo x, a matriz P\,Q atua como a identidade nas coordenadas em B', ou seja,
P\,Q \;=\;I_{n},
onde I_{n} é a matriz identidade de ordem n.

Passo 4

De modo análogo, substituindo a primeira relação na segunda, vemos que
[x]_{B} \;=\;Q\,(P\,[x]_{B}) \;=\;(Q\,P)\,[x]_{B},
e portanto
Q\,P \;=\;I_{n}.
Ter P\,Q=I_{n} e Q\,P=I_{n} significa exatamente que P e Q são matrizes inversas uma da outra.

Resposta

[I]_{B}^{B'} \;=\;P \;=\;\bigl([I]_{B'}^{B}\bigr)^{-1}.

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