Sejam
e
bases de um espaço vetorial
. Mostre que é válido
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para o operador identidade
, vale
onde
e
são duas bases de
. Vamos usar a interpretação matricial de mudança de base: identificar as matrizes que convertem coordenadas em
para
e vice-versa, e mostrar que elas são inversas uma da outra.
Passo 2
Defina
Por definição, para todo vetor
valem
Passo 3
Substituindo a segunda igualdade na primeira, obtemos
Como isso vale para todo
, a matriz
atua como a identidade nas coordenadas em
, ou seja,
onde
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 4
De modo análogo, substituindo a primeira relação na segunda, vemos que
e portanto
Ter
e
significa exatamente que
e
são matrizes inversas uma da outra.