Sejam V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}), B=\left\{3,1+t, 2+t^{2}\right\} e B^{\prime}=\left\{1, t, t^{2}\right\} bases de V. Determine as coordenadas de p(t)=2+3 t-5 t^{2} com relação às bases B e B^{\prime}.
Passo 1
O enunciado considera o espaço V = \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) de polinômios de grau <=2, e dá duas bases:
B = \{\,3,\,1+t,\,2+t^{2}\}
B' = \{\,1,\,t,\,t^{2}\}.
Pede-se o vetor de coordenadas de p(t) = 2 + 3t - 5t^{2} em cada base. Para isso, vamos usar que as coordenadas em uma base B são os escalares únicos que expressam p(t) como combinação linear dos vetores de B.
Passo 2
Na base padrão B', cada polinômio
a + b\,t + c\,t^{2}
já vem escrito na forma da base \{1,t,t^2\}. Logo, para
p(t) = 2 + 3t - 5t^{2},
as coordenadas em B' são simplesmente os coeficientes: