Sejam V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}), B=\left\{3,1+t, 2+t^{2}\right\} e B^{\prime}=\left\{1, t, t^{2}\right\} bases de V. Determine as coordenadas de p(t)=2+3 t-5 t^{2} com relação às bases B e B^{\prime}.

Passo 1

O enunciado considera o espaço V = \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) de polinômios de grau <=2, e dá duas bases:
B = \{\,3,\,1+t,\,2+t^{2}\}
B' = \{\,1,\,t,\,t^{2}\}.
Pede-se o vetor de coordenadas de p(t) = 2 + 3t - 5t^{2} em cada base. Para isso, vamos usar que as coordenadas em uma base B são os escalares únicos que expressam p(t) como combinação linear dos vetores de B.

Passo 2

Na base padrão B', cada polinômio
a + b\,t + c\,t^{2}
já vem escrito na forma da base \{1,t,t^2\}. Logo, para
p(t) = 2 + 3t - 5t^{2},
as coordenadas em B' são simplesmente os coeficientes:
[p(t)]_{B'} = \begin{pmatrix} 2\\\\ 3\\\\ -5 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas em B, suponha que existam escalares x,y,z tais que
p(t) = x\cdot 3 \;+\; y\cdot(1+t)\;+\; z\cdot(2 + t^{2}).
Isso significa
2 + 3t - 5t^{2} = (3x + y + 2z) + (y)\,t + (z)\,t^{2}.

Passo 4

Comparando coeficientes de 1\), \(t\) e \(t^2\), obtemos o sistema \[\begin{cases} 3x + y + 2z = 2,\\\ y = 3,\\\ z = -5. \end{cases}
De y=3\] e \(z=-5 segue 3x + 3 + 2(-5)=2, isto é 3x -7=2 e x=3. Assim
[x,y,z] = [3,\,3,\,-5].

Resposta

As coordenadas de p(t) são:
Em B:
[p(t)]_{B} = \begin{pmatrix} 3\\\\ 3\\\\ -5 \end{pmatrix},
Em B':
[p(t)]_{B'} = \begin{pmatrix} 2\\\\ 3\\\\ -5 \end{pmatrix}.

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