Sejam V um espaço vetorial e B=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\} uma base de V. Determine [I]_{B}^{B}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de representação da aplicação identidade \;I\colon V\to V, I(v)=v, na mesma base \;B=\{v_{1},\dots,v_{n}\}.
O conteúdo aqui é a definição de matriz de um operador linear relativamente a uma base, e vamos usar que cada coluna dessa matriz é o vetor de coordenadas de I(v_{j}) na base B.

Passo 2

Pela definição, a matriz [I]_{B}^{B} tem na sua j-ésima coluna o vetor de coordenadas de \;I(v_{j}) em relação a B. Em outras palavras, se \;[\,I(v_{j})\,]_{B}=(c_{1j},c_{2j},\dots,c_{nj})^{T},
então \;[I]_{B}^{B}=\bigl(c_{ij}\bigr)_{i,j=1}^{n}.

Passo 3

Como I(v_{j})=v_{j}, o vetor de coordenadas de v_{j} na base B é exatamente o vetor canônico \,e_{j}\in\mathbb{R}^{n}, isto é,
[\,I(v_{j})\,]_{B} = [\,v_{j}\,]_{B} = (0,\dots,0,1,0,\dots,0)^{T},
com o 1 na posição j.

Passo 4

Portanto, cada coluna j de [I]_{B}^{B} é o vetor canônico e_{j}. Logo a matriz inteira é a matriz identidade de ordem n:
[I]_{B}^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

[I]_{B}^{B} = I_{n}.

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