Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a) det(A B)=det(B A)
(b) det(2 A)=2 det A
(c) det(A^2)=(det A)^2
(d) det Mi j<det A

Passo 1

O enunciado pede para verificar se quatro afirmações sobre determinantes de matrizes quadradas A,BinR^ntimes n são verdadeiras ou falsas. Vamos usar as propriedades básicas:
  1. det(AB)=det Acdotdet B.
  2. det(lambda A)=lambda^ndet A para lambdainR.
  3. det(A^k)=l(det Ar)^k.
  4. Não existe, em geral, comparação fixa entre det A e determinantes de menores Mij.

Passo 2

Analisando (a):
det(AB)=det Acdotdet B
e
det(BA)=det Bcdotdet A
Como a multiplicação de escalares é comutativa, det Acdotdet B=det Bcdotdet A.
Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando (b):
Pela propriedade de escalar,
det(2A)=2^ndet A,
não 2det A — só coincide com 2det A quando n=1.
Por exemplo, se n=2 e A=I2, então det(2I2)=2^2det I2=4neq2.
Logo, (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c):
detl(A^2r)=det(Acdot A)=det Acdotdet A=(det A)^2
Portanto, (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando (d):
Aqui Mij é o menor de ordem n-1 obtido eliminando a linha i e coluna j de A. Não há nenhuma desigualdade geral que garanta det(Mij)<det A para toda matriz.
Contraexemplo simples: tome n=2 e A=I2. Então det A=1 e, por exemplo, det(M11)=1, não estritamente menor.
Logo, (d) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa

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