Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se quatro afirmações sobre determinantes de matrizes quadradas
são verdadeiras ou falsas. Vamos usar as propriedades básicas:
-
. -
para . -
. - Não existe, em geral, comparação fixa entre
e determinantes de menores .
Passo 2
Analisando (a):
e
Como a multiplicação de escalares é comutativa,
.
Logo, (a) é verdadeira.
Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
Analisando (b):
Pela propriedade de escalar,
Pela propriedade de escalar,
não
— só coincide com
quando
.
Por exemplo, se e
, então
.
Logo, (b) é falsa.
Por exemplo, se
Logo, (b) é falsa.
Passo 4
Analisando (c):
Portanto, (c) é verdadeira.
Passo 5
Analisando (d):
Aqui é o menor de ordem
obtido eliminando a linha
e coluna
de
. Não há nenhuma desigualdade geral que garanta
para toda matriz.
Contraexemplo simples: tome e
. Então
e, por exemplo,
, não estritamente menor.
Logo, (d) é falsa.
Aqui
Contraexemplo simples: tome
Logo, (d) é falsa.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa
(b) Falsa
(c) Verdadeira
(d) Falsa