Sejam A e B matrizes n times n. Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
det(3 A B)=3 det(A) det(B).

Passo 1

O enunciado pede para avaliarmos a veracidade da igualdade
det(3AB) = 3,det(A),det(B),
onde A e B são matrizes ntimes n. O conteúdo principal que vamos usar são as propriedades de determinante de produto de matrizes e de fator escalar em matriz quadrada.

Passo 2

Propriedade do determinante em produto de matrizes: para quaisquer matrizes quadradas A e B de ordem n,
det(AB) ;=;det(A),det(B)

Passo 3

Propriedade do determinante em fator escalar: se M é ntimes n e c é escalar, então
det(c,M) ;=;c^n,det(M)

Passo 4

Aplicando as duas propriedades ao lado esquerdo da igualdade, temos
det(3AB) = detl((3A),Br) = det(3A),det(B) = 3^n,det(A),det(B)

Passo 5

Comparando com 3,det(A),det(B), vemos que 3^nneq3 em geral, exceto quando n=1. Por exemplo, para n=2 e A=B=I2 (matriz identidade de ordem 2),
det(3I2I2) = det(3I2) = 3^2=9 enquanto 3,det(I2),det(I2) = 3cdot1cdot1=3
Logo a igualdade não vale para n>1.

Resposta

FALSO

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