Sejam
e
matrizes
. Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
Se
então
ou
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dadas matrizes
e
de ordem
, a condição
implica necessariamente que
ou
. O conteúdo aqui é o conceito de divisor de zero em anéis, aplicado ao anel das matrizes quadradas.
Passo 2
Em um anel comutativo sem divisores de zero (um domínio íntegro), de fato
implica
ou
. Porém o anel das matrizes
sobre um corpo não é íntegro quando
: existem divisores de zero não nulos.
Passo 3
Para dar um contraexemplo basta escolher
e construir duas matrizes não nulas cujos espaços imagem e núcleo sejam ortogonais. Por exemplo,
Passo 4
Calculamos o produto:
Aqui usamos que a única entrada não nula de
multiplica a única entrada não nula de
“deslocando” o
para uma posição fora da diagonal principal, resultando na matriz zero. Nem
nem
são a matriz zero.
Resposta
FALSO.