Sejam A e B matrizes n times n. Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
Se A B=0 então A=0 ou B=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dadas matrizes A e B de ordem n, a condição
AB = 0
implica necessariamente que A = 0 ou B = 0. O conteúdo aqui é o conceito de divisor de zero em anéis, aplicado ao anel das matrizes quadradas.

Passo 2

Em um anel comutativo sem divisores de zero (um domínio íntegro), de fato xy=0 implica x=0 ou y=0. Porém o anel das matrizes ntimes n sobre um corpo não é íntegro quando n>1: existem divisores de zero não nulos.

Passo 3

Para dar um contraexemplo basta escolher n=2 e construir duas matrizes não nulas cujos espaços imagem e núcleo sejam ortogonais. Por exemplo,
A = 0 & 1 [6pt] 0 & 0, B = 0 & 0 [6pt] 1 & 0 ]

Passo 4

Calculamos o produto:
AB = 0 & 1 [4pt] 0 & 0 0 & 0 [4pt] 1 & 0 = 1cdot1 & 0 [4pt] 0 & 0 = 0 & 0 [4pt] 0 & 0
Aqui usamos que a única entrada não nula de A multiplica a única entrada não nula de B “deslocando” o 1 para uma posição fora da diagonal principal, resultando na matriz zero. Nem A nem B são a matriz zero.

Resposta

FALSO.

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