Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem n. Sabendo que \operatorname{det}(A)=3 e \operatorname{det}(B)=4, pede-se que:
\operatorname{det}\left(A^{-1} B^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas de ordem n com \det(A)=3 e \det(B)=4, e pede \det(A^{-1}B^{-1}). Vamos usar as propriedades de determinantes de inversa e de produto.

Passo 2

Sabemos que, para qualquer matriz invertível M, vale
\det(M^{-1})=\frac{1}{\det(M)}.
Logo,
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}=\frac{1}{3}, \quad \det(B^{-1})=\frac{1}{\det(B)}=\frac{1}{4}.

Passo 3

Outra propriedade importante é que
\det(MN)=\det(M)\,\det(N).
Aplicando-a a A^{-1}B^{-1}, temos
\det(A^{-1}B^{-1}) =\det(A^{-1})\,\det(B^{-1}) =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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