Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem n. Sabendo que \operatorname{det}(A)=3 e \operatorname{det}(B)=4, pede-se que:
\operatorname{det}(A B)^{t}

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes quadradas A e B de ordem n com \det(A)=3 e \det(B)=4, e pede \det\bigl((AB)^T\bigr).
Para resolver vamos usar as propriedades de determinante de produto e de determinante de transposta.

Passo 2

A primeira propriedade é que o determinante do produto de duas matrizes é o produto dos determinantes:
\det(AB) \;=\;\det(A)\,\det(B).
Substituindo os valores fornecidos, obtemos
\det(AB) = 3 \times 4 = 12.

Passo 3

A segunda propriedade é que o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua transposta:
\det\bigl(M^T\bigr) = \det(M)
para qualquer matriz quadrada M.

Passo 4

Aplicando essa propriedade em M = AB, temos
\det\bigl((AB)^T\bigr) = \det(AB) = 12.

Resposta

12

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