Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem n. Sabendo que \operatorname{det}(A)=3 e \operatorname{det}(B)=4, pede-se que:
\operatorname{det}\left(3 B^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem n, com \det(A)=3 e \det(B)=4, e pede \det\bigl(3\,B^{-1}\bigr). Vamos usar duas propriedades fundamentais de determinante:
  1. Para toda matriz quadrada M de ordem n e escalar k, vale
\det(kM)=k^{n}\,\det(M).
  1. Para toda matriz invertível M,
\det(M^{-1})=\frac{1}{\det(M)}.

Passo 2

Calcular \det(B^{-1}) usando a segunda propriedade:
\det(B^{-1})=\frac{1}{\det(B)}=\frac{1}{4}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de multiplicação escalar à matriz B^{-1}:
\det\bigl(3\,B^{-1}\bigr)=3^{n}\,\det\bigl(B^{-1}\bigr) =3^{n}\,\frac{1}{4} =\frac{3^{n}}{4}.

Resposta

\det\bigl(3\,B^{-1}\bigr)=\frac{3^{n}}{4}.

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