Usando escalonamento, determine a solução geral dos sistemas lineares abaixo.
\left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z+4 w=-8 \\\\ 2 x+y-2 z+w=0 \\\\ -3 x+z+2 w=-8 \\\ y+4 z-w=-2\end{array}\right.

Passo 1

O sistema dado é \r
\begin{cases} x+2y+3z+4w=-8,\\\\ 2x+y-2z+w=0,\\\\ -3x+z+2w=-8,\\\ y+4z-w=-2. \end{cases}
Queremos usar eliminação de Gauss (escalonamento) para chegar a uma forma triangular e, em seguida, resolver por substituição retroativa.

Passo 2

Primeiro montamos a matriz aumentada do sistema:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & -8\\\\ 2 & 1 & -2 & 1 & 0\\\\ -3 & 0 & 1 & 2 & -8\\\\ 0 & 1 & 4 & -1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos os elementos abaixo do pivô da primeira coluna x:
  • R_2\leftarrow R_2-2R_1
  • R_3\leftarrow R_3+3R_1
Isso produz
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & -8\\\\ 0 & -3 & -8 & -7 & 16\\\\ 0 & 6 & 10 & 14 & -32\\\\ 0 & 1 & 4 & -1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para ter pivô igual a 1 na coluna de y, trocamos R_2 e R_4:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & -8\\\\ 0 & 1 & 4 & -1 & -2\\\\ 0 & 6 & 10 & 14 & -32\\\\ 0 & -3 & -8 & -7 & 16 \end{pmatrix}.

Passo 5

Eliminamos abaixo do pivô de y:
  • R_3\leftarrow R_3-6R_2
  • R_4\leftarrow R_4+3R_2
Obtém–se
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & -8\\\\ 0 & 1 & 4 & -1 & -2\\\\ 0 & 0 & -14 & 20 & -20\\\\ 0 & 0 & 4 & -10 & 10 \end{pmatrix}.

Passo 6

Simplificamos as linhas 3 e 4 para pivôs mais simples:
  • R_3\leftarrow \tfrac{-1}{2}R_3
  • R_4\leftarrow \tfrac12R_4
    e então trocamos R_3 e R_4 para ter pivô positivo em z. Ficamos com
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & -8\\\\ 0 & 1 & 4 & -1 & -2\\\\ 0 & 0 & 2 & -5 & 5\\\\ 0 & 0 & 7 & -10 & 10 \end{pmatrix}.

Passo 7

Eliminamos o elemento abaixo do pivô de z:
R_4\leftarrow R_4-\frac{7}{2}R_3
Isso gera
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & -8\\\\ 0 & 1 & 4 & -1 & -2\\\\ 0 & 0 & 2 & -5 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Agora temos forma triangular superior, com pivô 1 na linha de w.

Passo 8

Fazemos substituição retroativa:
  • Da última linha vem w=-1.
  • Terceira linha: 2z-5w=5\implies 2z-5(-1)=5\implies 2z+5=5\implies z=0.
  • Segunda linha: y+4z -w=-2\implies y+0-(-1)=-2\implies y+1=-2\implies y=-3.
  • Primeira linha: x+2y+3z+4w=-8\implies x+2(-3)+0+4(-1)=-8\implies x-6-4=-8\implies x=2.

Resposta

(x,y,z,w)=(2,\,-3,\,0,\,-1).

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