Sejam A=[rrrr1 & 0 & 1 & -1 2 & 1 & 3 & 3 -1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 2 & 4], B=[rrrr1 & 0 & 4 & 3 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & -4 & 1 0 & 0 & 0 & 3], C=[rrrr3 & 2 & 0 & 1 -4 & 5 & 0 & 7 0 & 1 & 0 & 6 2 & -1 & 0 & 2], D=[rrrr2 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 3] e b=[r-2 2 1 3].
(e) (1 ponto) Resolva o sistema linear (2 A^-1 D^3 B^T) x=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo
l(2,A^-1D^3B^Tr)x=0
O conteúdo é Álgebra Linear, especificamente fatoração de matrizes invertíveis e solução de sistemas homogêneos. Vamos precisar usar que o produto de matrizes invertíveis é invertível e, portanto, a única solução do sistema homogêneo é a trivial.

Passo 2

Como D é diagonal, calculamos facilmente
D^3 = 2^3&0&0&0 0&(-1)^3&0&0 0&0&1^3&0 0&0&0&3^3 = 8&0&0&0 0&-1&0&0 0&0&1&0 0&0&0&27

Passo 3

Observamos que
  1. A é invertível (por exemplo, det A=-1neq0),
  2. D^3 é invertível pois todos os seus pivôs diagonais (8,-1,1,27) são não nulos,
  3. B é triangular superior com diagonais (1,2,-4,3)neq0, logo B^T também é invertível.
    Portanto
M=2,A^-1D^3B^T
é produto de matrizes invertíveis e de uma escalar 2neq0, logo M é invertível.

Passo 4

Num sistema homogêneo Mx=0, se M é invertível então o único vetor x que satisfaz é o vetor nulo.

Resposta

A única solução é
x=0000

Exercícios relacionados