Sejam A=(ll2 & 1 1 & 0), B=(ccc2 & 1 & 2 3 & -1 & 0) e C=(cc2 & 1 -1 & 0 0 & 1)
Se possível, calcule cada uma das matrizes abaixo. Se não for possível, justifique por quê.
A^2+A^-1-3 I

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz
A^2 + A^-1 - 3I,
onde
A = 2 & 1 [4pt] 1 & 0,
e I é a matriz identidade 2times2. Vamos usar operações de multiplicação de matrizes, a fórmula do inverso de uma 2times2 e a definição de matriz identidade.]

Passo 2

Calcular A^2 pela definição de produto de matrizes:
A^2 = A cdot A = 2 & 1 [4pt] 1 & 0 2 & 1 [4pt] 1 & 0 = 2cdot2 + 1cdot1 & 2cdot1 + 1cdot0 [4pt] 1cdot2 + 0cdot1 & 1cdot1 + 0cdot0 = 5 & 2 [4pt] 2 & 1 ]

Passo 3

Verificar que A é invertível e achar A^-1. O determinante de A é
det(A) = 2cdot0 - 1cdot1 = -1 neq 0,
então
A^-1 = 1det(A) d & -b [4pt] -c & a = -1 0 & -1 [4pt] -1 & 2 = 0 & 1 [4pt] 1 & -2 ]

Passo 4

Escrever a matriz 3I, onde I é a identidade 2times2:
3I = 3 1 & 0 [4pt] 0 & 1 = 3 & 0 [4pt] 0 & 3 ]

Passo 5

Somar e subtrair as matrizes obtidas:
A^2 + A^-1 = 5 & 2 [4pt] 2 & 1 + 0 & 1 [4pt] 1 & -2 = 5 & 3 [4pt] 3 & -1,
A^2 + A^-1 - 3I = 5 & 3 [4pt] 3 & -1 - 3 & 0 [4pt] 0 & 3 = 2 & 3 [4pt] 3 & -4 ]

Resposta

2 & 3 [4pt] 3 & -4 ]

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