Sejam a e b tais que v=(-2,3,4) e w=(a, 2, b) sejam paralelos. Calcule 12(a+b).
Dica: a resposta é um número inteiro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, v = (-2, 3, 4) e w = (a, 2, b), e a parada é que esses vetores são paralelos. Nosso objetivo é encontrar os valores de a e b que deixam esses vetores paralelos e, depois, calcular 12(a + b). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores paralelos e trabalhar com proporções entre os componentes deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Vetores são paralelos quando um é múltiplo do outro. Isso quer dizer que existe um número escalares lambda tal que:
w = lambda v
Ou seja, cada componente de w é igual à componente correspondente de v multiplicada por lambda.

Passo 3

Vamos aplicar essa ideia aos nossos vetores:
(a, 2, b) = lambda (-2, 3, 4)
Isso resulta em três equações:
  1. a = -2lambda
  2. 2 = 3lambda
  3. b = 4lambda

Passo 4

A gente pode usar a segunda equação para encontrar o valor de lambda. Vamos lá:
2 = 3lambda Rightarrow lambda = 23

Passo 5

Agora que temos o valor de lambda, vamos substituir ele nas outras equações para encontrar a e b.
Para a:
a = -2lambda = -2 times 23 = -43
Para b:
b = 4lambda = 4 times 23 = 83

Passo 6

Com os valores de a e b encontrados, vamos calcular 12(a + b):
Primeiro, soma de a e b:
a + b = -43 + 83 = 43
Agora, multiplicando por 12:
12 times 43 = 16

Resposta

16

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