Sejam B1, ldots , Bn eventos aleatórios independentes com pk=P(Bk), k=1, ldots, n. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos, em termos das probabilidades de pkk
a) A ocorrência de nenhum dos Bk.
b) A ocorrência de pelo menos um dos Bk.
c) A ocorrência de exatamente um dos Bk.
e) A ocorrência de todos os Bk

Passo 1

O enunciado dá eventos independentes B1,dots,Bn com P(Bk)=pk. Vamos usar a regra do produto para eventos independentes e a regra do complemento para expressar, em termos de pk, as probabilidades de:
a) nenhum ocorrer,
b) pelo menos um ocorrer,
c) exatamente um ocorrer,
e) todos ocorrerem.

Passo 2

Para nenhum dos Bk ocorrer, precisamos que cada um falhe. Como P(lnot Bk)=1-pk e os eventos são independentes,
P(nenhum) = prodk=1^n (1-pk)

Passo 3

Para ocorrer pelo menos um, usamos o complemento de “nenhum ocorrer”:
P(pelo menos um) = 1 - P(nenhum) = 1 - prodk=1^n (1-pk)

Passo 4

Para ocorrer exatamente um dos , somamos as probabilidades de cada caso “ ocorre e os outros falham”. Para um dado :
Como esses casos são mutuamente exclusivos,

Passo 5

Para todos os Bk ocorrerem, basta multiplicar as probabilidades pela independência:
P(todos) = prodk=1^n pk

Resposta

(a)
(b)
(c)
(e)

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