Sejam alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica do R^3 e beta=(1,0,-1),(2,-1,0),(-3,1,2) outra base do R^3.
Seja T: R^3 R^3 o operador linear tal que [T]beta^alpha=[rrr1 & 1 & 1 0 & 1 & 4 -1 & 0 & 2].
Obtenha T(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá duas bases de R^3: a canônica alpha=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e beta=b1,b2,b3 com
b1=(1,0,-1), b2=(2,-1,0), b3=(-3,1,2)
O operador linear T tem representação de beta-coordenadas de entrada para alpha-coordenadas de saída
[T]beta^alpha = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 4 -1&0&2
Isso significa que
T(b1)=(1,0,-1),;T(b2)=(1,1,0),;T(b3)=(1,4,2)
em coordenadas padrão. Queremos achar a fórmula de T(x,y,z) para um vetor genérico (x,y,z) em coordenadas padrão.

Passo 2

Para aplicar
e resolvemos o sistema
Da segunda equação . Substituindo na primeira:
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Passo 3

Como T é linear e sabemos T(bj), temos
T(x,y,z) = u1,T(b1) + u2,T(b2) + u3,T(b3)
Escrevendo em coordenadas padrão e usando
,T(b1)=(1,0,-1),,T(b2)=(1,1,0),,T(b3)=(1,4,2), obtemos
T(x,y,z) =l(u1+u2+u3,;u2+4u3,;-u1+2u3r)

Passo 4

Substituindo u1=2x+4y+z, u2=x+y+z, u3=x+2y+z:
1ª comp&= (2x+4y+z)+(x+y+z)+(x+2y+z)=4x+7y+3z, 2ª comp&= (x+y+z)+4(x+2y+z)=5x+9y+5z, 3ª comp&= -(2x+4y+z)+2(x+2y+z)=z ªªª

Resposta

T(x,y,z) = l(4x+7y+3z,;5x+9y+5z,;zr)

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