Sejam E e F base. Se M=ME^F é a matriz de mudança da base E para a base F, mostre que a matriz de mudança da base F para a base E é dada por M^-1. Isto é, MF^E=(ME^F)^-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas bases E e F de um mesmo espaço vetorial V, se
M = ME^F
é a matriz que leva coordenadas em E para coordenadas em F, então a matriz que faz o caminho inverso, de F para E, é justamente
MF^E = M^-1
O conteúdo envolvido é o de mudança de base em espaços vetoriais finito-dimensionais e a propriedade de invertibilidade dessas matrizes de transição.

Passo 2

Pela definição de matriz de mudança de base, para um vetor arbitrário vin V temos a relação de coordenadas
[v]F ;=; M, [v]E
Aqui [v]E é o vetor de coordenadas de v na base E e [v]F o vetor de coordenadas de v na base F.

Passo 3

Como E e F são bases de V com a mesma dimensão, M é invertível. Logo podemos multiplicar a relação anterior por M^-1 à esquerda:
M^-1,[v]F ;=; M^-1,M,[v]E ;Longrightarrow; [v]E ;=; M^-1,[v]F

Passo 4

A equação obtida
[v]E = M^-1,[v]F
mostra exatamente que M^-1 é a matriz que leva coordenadas de F para coordenadas de E. Por definição, essa matriz é
MF^E

Passo 5

Concluímos, portanto, que
MF^E = l(ME^Fr)^-1

Resposta

MF^E = (ME^F)^-1

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