Sejam
e
base. Se
é a matriz de mudança da base
para a base
, mostre que a matriz de mudança da base
para a base
é dada por
. Isto é,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas bases
e
de um mesmo espaço vetorial
, se
é a matriz que leva coordenadas em
para coordenadas em
, então a matriz que faz o caminho inverso, de
para
, é justamente
O conteúdo envolvido é o de mudança de base em espaços vetoriais finito-dimensionais e a propriedade de invertibilidade dessas matrizes de transição.
Passo 2
Pela definição de matriz de mudança de base, para um vetor arbitrário
temos a relação de coordenadas
Aqui
é o vetor de coordenadas de
na base
e
o vetor de coordenadas de
na base
.
Passo 3
Como
e
são bases de
com a mesma dimensão,
é invertível. Logo podemos multiplicar a relação anterior por
à esquerda:
Passo 4
A equação obtida
mostra exatamente que
é a matriz que leva coordenadas de
para coordenadas de
. Por definição, essa matriz é
Passo 5
Concluímos, portanto, que