Sejam T: R^2 R^3 e R: R^3 R^2, definidas por
T(x, y)=(x-y, x+y, 2 x+3 y) e R(x, y, z)=(x+y, y-z)
Calcule [T]C^B e [R]B^C nos seguintes casos
B=(1,0),(0,1) e C=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

Passo 1

O enunciado define duas transformações lineares
T: R^2toR^3 dada por
T(x,y) = (,x - y,;x + y,;2x + 3y)
e
R: R^3toR^2 dada por
R(x,y,z) = (,x + y,;y - z)
As bases são
B = (1,0),,(0,1) em R^2 e
C = (1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1) em R^3.
Precisamos encontrar as matrizes de T e R nessas bases.

Passo 2

Para obter [T]C^B aplicamos T aos vetores de B e escrevemos os resultados na base C.
Para (1,0):
T(1,0) = (,1-0,;1+0,;2cdot1+3cdot0) = (1,1,2)
Para (0,1):
T(0,1) = (,0-1,;0+1,;2cdot0+3cdot1) = (-1,1,3)
Esses vetores formam as colunas de [T]C^B:
[T]C^B = 1 & -1 1 & 1 2 & 3

Passo 3

Para obter [R]B^C aplicamos R aos vetores de C e escrevemos os resultados na base B.
Para (1,0,0):
R(1,0,0) = (,1+0,;0-0) = (1,0)
Para (0,1,0):
R(0,1,0) = (,0+1,;1-0) = (1,1)
Para (0,0,1):
R(0,0,1) = (,0+0,;0-1) = (0,-1)
Esses vetores formam as colunas de [R]B^C:
[R]B^C = 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1

Resposta

[T]C^B = 1 & -1 1 & 1 2 & 3
[R]B^C = 1 & 1 & 0 0 & 1 & -1

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