Sejam alpha=(-1,0,2),(0,1,0),(0,0,2) e beta=(0,0,1),(0,-2,1),(1,0,-1) bases do R^3.
Considerando [v]alpha=(c-1 2 3), calcule [v]beta.

Passo 1

O enunciado dá duas bases do R^3,
alpha = (-1,0,2),,(0,1,0),,(0,0,2) e
beta = (0,0,1),,(0,-2,1),,(1,0,-1),
e pede as coordenadas de um vetor v em beta, sabendo que em alpha temos
[v]alpha = -123.
Para achar [v]beta primeiro vamos escrever v em coordenadas canônicas (padrão) usando a base alpha e depois resolver o sistema que expressa v como combinação linear dos vetores de beta.

Passo 2

Como [v]alpha = (-1,2,3) significa
v = -1cdot(-1,0,2);+;2cdot(0,1,0);+;3cdot(0,0,2),
calculamos termo a termo:
-1cdot(-1,0,2) = (1,0,-2), 2cdot(0,1,0) = (0,2,0), 3cdot(0,0,2) = (0,0,6)
Somando os três resultados vem
v = (1,0,-2) + (0,2,0) + (0,0,6) = (1,2,4)

Passo 3

Agora imponho
x,(0,0,1);+;y,(0,-2,1);+;z,(1,0,-1);=;(1,2,4),
onde (x,y,z) são as coordenadas de v na base beta. Somando em cada componente:
1ª componente: z = 1
2ª componente: -2y = 2
3ª componente: x + y - z = 4

Passo 4

Resolvendo as equações:
z = 1, -2y = 2 implies y = -1, x + y - z = 4 implies x -1 -1 = 4 implies x = 6

Resposta

[v]beta = 6-11

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