Verifique quais dos subconjuntos a seguir são subespaço do
:
(1) os vetores da forma;
;
(2) os vetores da forma
;
(3) os vetores da forma
com
.
(4) os vetores
tais que
ou
.
(5) os vetores da forma
com
.
(1) os vetores da forma;
(2) os vetores da forma
(3) os vetores da forma
(4) os vetores
(5) os vetores da forma
Passo 1
O enunciado nos dá cinco subconjuntos de
e pede para verificar quais são subespaços vetoriais. Para isso, vamos usar a definição: um subconjunto
é subespaço se e somente se
-
, -
, -
.
Passo 2
Analisando o subconjunto (1):
.
Esse conjunto contém (basta
). Além disso, se
e
estão em
, então
,
e para qualquer ,
.
Logo, é um subespaço (é exatamente
).
Esse conjunto contém
e para qualquer
Logo,
Passo 3
Analisando o subconjunto (2):
.
Para ser subespaço, deveria conter , mas não existe
tal que
.
Portanto, e
não é subespaço.
Para ser subespaço, deveria conter
Portanto,
Passo 4
Analisando o subconjunto (3):
.
A condição é linear e homogênea ( ). Verificamos que
satisfaz
. Se
e
satisfazem
e
, então
A condição é linear e homogênea (
satisfaz
logo está em
. E para
,
satisfaz
.
Logo, é subespaço.
Logo,
Passo 5
Analisando o subconjunto (4):
.
Considere e
. Então
Considere
não satisfaz
nem
, logo
.
Portanto, não é fechado sob soma e não é subespaço.
Portanto,
Passo 6
Analisando o subconjunto (5):
.
Tome pois
. Mas para
Tome
tem
, logo
.
Portanto, não é fechado sob multiplicação por escalar e não é subespaço.
Portanto,
Resposta
Os subconjuntos que são subespaços de
são apenas os itens (1) e (3).