Verifique quais dos subconjuntos a seguir são subespaço do R^3 :
(1) os vetores da forma; (0,0, a);
(2) os vetores da forma (a, 1,1);
(3) os vetores da forma (a, b, c) com b=a+c.
(4) os vetores (x, y, z) tais que x=0 ou y=0.
(5) os vetores da forma (a, b, c) com a+b >= 0.

Passo 1

O enunciado nos dá cinco subconjuntos de R^3 e pede para verificar quais são subespaços vetoriais. Para isso, vamos usar a definição: um subconjunto WsubseteqR^3 é subespaço se e somente se
  1. 0=(0,0,0)in W,
  2. u,vin Wimplies u+vin W,
  3. uin W,,lambdainRimplies lambda uin W.

Passo 2

Analisando o subconjunto (1):
W1=(0,0,a)mid ainR.
Esse conjunto contém 0=(0,0,0) (basta a=0). Além disso, se (0,0,a) e (0,0,a') estão em W1, então
(0,0,a)+(0,0,a')=(0,0,a+a') in W1,
e para qualquer lambdainR,
lambda(0,0,a)=(0,0,lambda a) in W1.
Logo, W1 é um subespaço (é exatamente span(0,0,1)).

Passo 3

Analisando o subconjunto (2):
W2=(a,1,1)mid ainR.
Para ser subespaço, deveria conter 0=(0,0,0), mas não existe a tal que (a,1,1)=(0,0,0).
Portanto, 0notin W2 e W2 não é subespaço.

Passo 4

Analisando o subconjunto (3):
W3=(a,b,c)mid b=a+c.
A condição é linear e homogênea ( b-(a+c)=0). Verificamos que 0=(0,0,0) satisfaz 0=0+0. Se (a,b,c) e (a',b',c') satisfazem b=a+c e b'=a'+c', então
(a+a',,b+b',,c+c')
satisfaz
(b+b')=(a+c)+(a'+c')=(a+a')+(c+c'),
logo está em W3. E para lambdainR,
lambda(a,b,c)=(lambda a,lambda b,lambda c)
satisfaz
lambda b=lambda(a+c)=lambda a+lambda c.
Logo, W3 é subespaço.

Passo 5

Analisando o subconjunto (4):
W4=(x,y,z)mid x=0;ou;y=0.
Considere u=(0,1,0)in W4 e v=(1,0,0)in W4. Então
u+v=(1,1,0)
não satisfaz x=0 nem y=0, logo u+vnotin W4.
Portanto, W4 não é fechado sob soma e não é subespaço.

Passo 6

Analisando o subconjunto (5):
W5=(a,b,c)mid a+b>=0.
Tome u=(1,0,0)in W5 pois 1+0>=0. Mas para lambda=-1
lambda u=(-1,0,0)
tem -1+0<0, logo lambda unotin W5.
Portanto, W5 não é fechado sob multiplicação por escalar e não é subespaço.

Resposta

Os subconjuntos que são subespaços de R^3 são apenas os itens (1) e (3).

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