Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do conjunto das funções reais F(R):
(1) as funções tais que f(0)=0;
(2) as funções tais que f(x)=f(-x);
(3) as funções tais que f(0)=1+f(1);
(4) as funções reais crescentes: x<y Rightarrow f(x) <= f(y);
(5) as funções contínuas no intervalo [a, b] ;
(6) as funções diferenciáveis no ponto p in R;
(7) as funções integráveis em [a, b].

Passo 1

O enunciado pede para verificar, em cada um dos sete casos, se um determinado conjunto de funções é subespaço do espaço vetorial F(R). O conteúdo da matéria é teoria de subespaços vetoriais: para cada conjunto, devemos checar se ele contém a função zero e se é fechado sob soma e multiplicação por escalares.

Passo 2

Relembrando, um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
  1. A função zero de V está em W.
  2. Para quaisquer f,gin W, tem-se f+gin W.
  3. Para todo escalar cinR e toda fin W, tem-se c,fin W.

Passo 3

Conjunto (1): ,fmid f(0)=0.
– Zero: a função f0(x)=0 satisfaz f0(0)=0.
– Soma: se f(0)=0 e g(0)=0 então (f+g)(0)=f(0)+g(0)=0.
– Escalar: se f(0)=0 então (c,f)(0)=ccdot f(0)=0.
Logo é subespaço.

Passo 4

Conjunto (2): ,fmid f(x)=f(-x) (funções pares).
– Zero: f0(x)=0 satisfaz f0(x)=0=f0(-x).
– Soma: soma de pares é par.
– Escalar: múltiplo escalar de par é par.
Logo é subespaço.

Passo 5

Conjunto (3): ,fmid f(0)=1+f(1).
– Zero: f0(0)=0 mas 1+f0(1)=1, logo 0neq1, então f0notin conjunto.
Já falha em conter a função zero, portanto não é subespaço.

Passo 6

Conjunto (4): ,fmid x<yRightarrow f(x)<= f(y) (funções crescentes).
– Zero: f0 é crescente, ok.
– Soma: soma de crescentes é crescente, ok.
– Escalar: se c<0, então c,f inverte a desigualdade, não fica crescente.
Logo não é fechado por escalares negativos e não é subespaço.

Passo 7

Conjuntos (5), (6) e (7):
(5) funções contínuas em [a,b],
(6) funções diferenciáveis em p,
(7) funções integráveis em [a,b]].
Em todos estes casos:
– A função zero pertence ao conjunto (é contínua, diferenciável e integrável).
– Soma e múltiplo escalar de duas funções contínuas (ou diferenciáveis em p, ou integráveis) permanece contínua (ou diferenciável em p, ou integrável).
Logo cada um desses três conjuntos é subespaço.

Resposta

Os subespaços são os itens (1), (2), (5), (6) e (7).
Os itens (3) e (4) não são subespaços.

Exercícios relacionados