Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços do conjunto das funções reais
(1) as funções tais que
;
(2) as funções tais que
;
(3) as funções tais que
;
(4) as funções reais crescentes:
;
(5) as funções contínuas no intervalo
(6) as funções diferenciáveis no ponto
;
(7) as funções integráveis em
.
(1) as funções tais que
(2) as funções tais que
(3) as funções tais que
(4) as funções reais crescentes:
(5) as funções contínuas no intervalo
(6) as funções diferenciáveis no ponto
(7) as funções integráveis em
Passo 1
O enunciado pede para verificar, em cada um dos sete casos, se um determinado conjunto de funções é subespaço do espaço vetorial
. O conteúdo da matéria é teoria de subespaços vetoriais: para cada conjunto, devemos checar se ele contém a função zero e se é fechado sob soma e multiplicação por escalares.
Passo 2
Relembrando, um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se:
- A função zero de
está em . - Para quaisquer
, tem-se . - Para todo escalar
e toda , tem-se .
Passo 3
Conjunto (1):
.
– Zero: a função satisfaz
.
– Soma: se e
então
.
– Escalar: se então
.
Logo é subespaço.
– Zero: a função
– Soma: se
– Escalar: se
Logo é subespaço.
Passo 4
Conjunto (2):
(funções pares).
– Zero: satisfaz
.
– Soma: soma de pares é par.
– Escalar: múltiplo escalar de par é par.
Logo é subespaço.
– Zero:
– Soma: soma de pares é par.
– Escalar: múltiplo escalar de par é par.
Logo é subespaço.
Passo 5
Conjunto (3):
.
– Zero: mas
, logo
, então
conjunto.
Já falha em conter a função zero, portanto não é subespaço.
– Zero:
Já falha em conter a função zero, portanto não é subespaço.
Passo 6
Conjunto (4):
(funções crescentes).
– Zero: é crescente, ok.
– Soma: soma de crescentes é crescente, ok.
– Escalar: se , então
inverte a desigualdade, não fica crescente.
Logo não é fechado por escalares negativos e não é subespaço.
– Zero:
– Soma: soma de crescentes é crescente, ok.
– Escalar: se
Logo não é fechado por escalares negativos e não é subespaço.
Passo 7
Conjuntos (5), (6) e (7):
(5) funções contínuas em ,
(6) funções diferenciáveis em ,
(7) funções integráveis em ].
Em todos estes casos:
– A função zero pertence ao conjunto (é contínua, diferenciável e integrável).
– Soma e múltiplo escalar de duas funções contínuas (ou diferenciáveis em , ou integráveis) permanece contínua (ou diferenciável em
, ou integrável).
Logo cada um desses três conjuntos é subespaço.
(5) funções contínuas em
(6) funções diferenciáveis em
(7) funções integráveis em
Em todos estes casos:
– A função zero pertence ao conjunto (é contínua, diferenciável e integrável).
– Soma e múltiplo escalar de duas funções contínuas (ou diferenciáveis em
Logo cada um desses três conjuntos é subespaço.
Resposta
Os subespaços são os itens (1), (2), (5), (6) e (7).
Os itens (3) e (4) não são subespaços.
Os itens (3) e (4) não são subespaços.