Sejam beta=(1,0),(0,1), beta1=(5,-1),(2,5) e beta2=(-2,1),(1,3) bases ordenadas de R^2.
Ache as matrizes de mudança de base:
i) [I2]beta^beta1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a matriz de mudança de base de uma base padrão beta = (1,0),(0,1) para outra base beta1 = (5,-1),(2,5). Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar as coordenadas dos vetores da base padrão para a nova base beta1.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar cada vetor da base padrão beta em termos dos vetores da base beta1. Ou seja, queremos encontrar coeficientes que satisfaçam:
(1,0) = a(5,-1) + b(2,5)
(0,1) = c(5,-1) + d(2,5)

Passo 3

Vamos resolver o sistema para o primeiro vetor (1,0):
5a + 2b = 1 (1)
-1a + 5b = 0 (2)
Da equação (2), isolamos a:
a = 5b
Substituindo na equação (1):
5(5b) + 2b = 1 Rightarrow 27b = 1 Rightarrow b = 127
a = 5 times 127 = 527
Então, as coordenadas de (1,0) na base beta1 são (527, 127).

Passo 4

Agora, resolvemos para o segundo vetor (0,1):
5c + 2d = 0 (3)
-1c + 5d = 1 (4)
Da equação (3), isolamos c:
c = -2d5
Substituindo na equação (4):
- (-2d5) + 5d = 1 Rightarrow 2d5 + 5d = 1 Rightarrow 27d5 = 1 Rightarrow d = 527
c = -2 times 5275 = -227
Então, as coordenadas de (0,1) na base beta1 são (-227, 527).

Resposta

A matriz de mudança de base [I2]beta^beta1 é:
[I2]beta^beta1 = 527 & -227 127 & 527

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