Sejam beta=(1,0),(0,1), beta1=(5,-1),(2,5) e beta2=(-2,1),(1,3) bases ordenadas de R^2.
Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-5) em relação à base:
i) beta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá três bases ordenadas de R^2 e pede para encontrar as coordenadas do vetor v = (3, -5) em relação à base beta. Para isso, vamos usar conceitos de bases e coordenadas de vetores em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Uma base de R^2 é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes. No caso da base beta = (1, 0), (0, 1), ela é conhecida como a base canônica ou padrão.

Passo 3

Para encontrar as coordenadas de v = (3, -5) em relação à base beta, precisamos expressar v como uma combinação linear dos vetores da base beta. Ou seja, queremos encontrar escalares a e b tais que:
v = a cdot (1, 0) + b cdot (0, 1)

Passo 4

Vamos montar as equações a partir da combinação linear:
(3, -5) = a cdot (1, 0) + b cdot (0, 1) = (a, b)
Isso nos dá as seguintes equações:
a = 3
b = -5

Passo 5

Resolvendo essas equações, encontramos que a = 3 e b = -5. Portanto, as coordenadas do vetor v na base beta são 3 e -5.

Resposta

As coordenadas do vetor v = (3, -5) em relação à base beta são (3, -5).

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