Sejam B1=(1,0),(0,1),
B2=(-1,1),(1,1), B3=(raiz3, 1),(raiz3,-1) e B4=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^2.
Determine [I]B1^B2,[I]B2^B1,[I]B3^B1 e [I]B4^B1

Passo 1

O enunciado dá quatro bases ordenadas de R^2:
B1 = (1,0),(0,1), B2 = (-1,1),(1,1), B3 = (raiz3,1),(raiz3,-1), B4 = (2,0),(0,2)
Pede-se as matrizes de mudança de base do operador identidade I de uma base para outra, ou seja [I]Bi^Bj. Para isso, vamos usar o fato de que as colunas de [I]B^C são as coordenadas, na base C, dos vetores que formam a base B.

Passo 2

Calcular
resolvendo dois sistemas:
Para :
Para (e_{2}=(0,1)]:

Logo,

Passo 3

Calcular [I]B2^B1. Agora a base domínio é B2=v1,v2 e a contra-domínio é B1. As colunas são simplesmente as coordenadas padrão de v1 e v2:
v1=(-1,1), v2=(1,1),
portanto
[I]B2^B1 = -1 & 1 ;1 & 1

Passo 4

Calcular [I]B3^B1. A base domínio é B3=w1,w2 com
w1=(raiz3,1), w2=(raiz3,-1),
e a contra-domínio é B1. As colunas são as coordenadas padrão:
[I]B3^B1 = raiz3 & raiz3 1 & -1

Passo 5

Calcular [I]B4^B1. A base domínio é B4=u1,u2 com
u1=(2,0), u2=(0,2),
e a contra-domínio é B1. As colunas são as coordenadas padrão:
[I]B4^B1 = 2 & 0 0 & 2

Resposta

[I]B1^B2 = -tfrac12 & tfrac12 ;tfrac12 & tfrac12 ,
[I]B2^B1 = -1 & 1 ;1 & 1 ,
[I]B3^B1 = raiz3 & raiz3 1 & -1 ,
[I]B4^B1 = 2 & 0 0 & 2

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