Sejam beta1=(raiz3, 1),(raiz3,-1) e beta2=(2,0),(0,2) bases ordenadas de R^2.
Encontre as matrizes de mudança de base [I]beta2^beta1 e[I]beta1^beta2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem duas bases ordenadas do R^2:
  • beta1 = (raiz3, 1), (raiz3, -1)
  • beta2 = (2, 0), (0, 2)
Precisamos encontrar as matrizes de mudança de base [I]beta2^beta1 e [I]beta1^beta2. Para isso, vamos usar o conceito de mudança de base, que nos permite converter as coordenadas de vetores de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz de mudança de base [I]beta2^beta1. Essa matriz converte as coordenadas de um vetor da base beta2 para a base beta1. Para encontrá-la, precisamos expressar cada vetor da base beta2 em termos da base beta1.

Passo 3

Vamos começar expressando o primeiro vetor de beta2, que é (2, 0), como combinação linear dos vetores de beta1. Suponha que:
(2, 0) = a(raiz3, 1) + b(raiz3, -1)
Isso nos dá o sistema de equações:
2 = a raiz3 + b raiz3 0 = a cdot 1 + b cdot (-1)

Passo 4

Resolvendo o segundo sistema:
a - b = 0 implies a = b
Substituindo na primeira equação:
2 = a raiz3 + a raiz3 = 2a raiz3 implies a = 22 raiz3 = 1raiz3
Portanto, a = b = 1raiz3.

Passo 5

Agora, expressamos o segundo vetor de beta2, que é (0, 2), da mesma forma:
(0, 2) = c(raiz3, 1) + d(raiz3, -1)
Isso nos dá:
0 = c raiz3 + d raiz3 2 = c cdot 1 + d cdot (-1)

Passo 6

Resolvendo o primeiro sistema:
c raiz3 + d raiz3 = 0 implies (c + d)raiz3 = 0 implies c + d = 0 implies d = -c
Substituindo na segunda equação:
c - d = 2 implies c - (-c) = 2 implies 2c = 2 implies c = 1
Então, c = 1 e d = -1.

Passo 7

Agora que temos as combinações lineares, podemos montar a matriz de mudança de base [I]beta2^beta1 com os coeficientes encontrados:
[I]beta2^beta1 = 1raiz3 & 1 1raiz3 & -1

Passo 8

Para encontrar a matriz de mudança de base inversa [I]beta1^beta2, simplesmente calculamos a inversa da matriz [I]beta2^beta1.
Calculando o determinante:
det = 1raiz3 cdot (-1) - 1raiz3 cdot 1 = -1raiz3 - 1raiz3 = -2raiz3
Então, a inversa será:
[I]beta1^beta2 = 1det -1 & -1 -1raiz3 & 1raiz3 = -raiz32 -1 & -1 -1raiz3 & 1raiz3 = raiz32 & raiz32 12 & -12

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
[I]beta2^beta1 = 1raiz3 & 1 1raiz3 & -1
e
[I]beta1^beta2 = raiz32 & raiz32 12 & -12

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