Sejam e bases ordenadas de .
Encontre as matrizes de mudança de base
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente tem duas bases ordenadas do :
Precisamos encontrar as matrizes de mudança de base e . Para isso, vamos usar o conceito de mudança de base, que nos permite converter as coordenadas de vetores de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a matriz de mudança de base . Essa matriz converte as coordenadas de um vetor da base para a base . Para encontrá-la, precisamos expressar cada vetor da base em termos da base .
Passo 3
Vamos começar expressando o primeiro vetor de , que é , como combinação linear dos vetores de . Suponha que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o segundo sistema:
a - b = 0 implies a = b
Substituindo na primeira equação:
2 = a raiz3 + a raiz3 = 2a raiz3 implies a = 22 raiz3 = 1raiz3
Portanto, a = b = 1raiz3.
Passo 5
Agora, expressamos o segundo vetor de beta2, que é (0, 2), da mesma forma:
(0, 2) = c(raiz3, 1) + d(raiz3, -1)
Isso nos dá:
0 = c raiz3 + d raiz3 2 = c cdot 1 + d cdot (-1)
Passo 6
Resolvendo o primeiro sistema:
c raiz3 + d raiz3 = 0 implies (c + d)raiz3 = 0 implies c + d = 0 implies d = -c
Substituindo na segunda equação:
c - d = 2 implies c - (-c) = 2 implies 2c = 2 implies c = 1
Então, c = 1 e d = -1.
Passo 7
Agora que temos as combinações lineares, podemos montar a matriz de mudança de base [I]beta2^beta1 com os coeficientes encontrados:
[I]beta2^beta1 = 1raiz3 & 1 1raiz3 & -1
Passo 8
Para encontrar a matriz de mudança de base inversa [I]beta1^beta2, simplesmente calculamos a inversa da matriz [I]beta2^beta1.