Sejam S=[l1 2],[l0 1], T=[l1 1],[l2 3] bases ordenadas de R^2. Sejam v=[l1 5] e w=[l5 4].
Encontre a matriz de mudança PT S da base S para a base T.

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas de R^2:
S=ls1=12,,s2=01r, T=lt1=11,,t2=23r
Queremos a matriz de mudança de base PTS tal que, para qualquer vetor x, se [x]S são as coordenadas em S e [x]T em T, então
[x]T = PTS,[x]S
Para isso, basta expressar cada vetor de S como combinação linear dos vetores de T e usar esses coeficientes como colunas de PTS.

Passo 2

Começamos por s1. Procuramos escalares a,b tais que
a,t1 + b,t2 = a11 + b23 = 12
Isto gera o sistema
a + 2b = 1, a + 3b = 2

Passo 3

Resolvendo o sistema: subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
( a + 3b ) - ( a + 2b ) = 2 - 1 ;Longrightarrow; b = 1
Substituindo em a + 2b = 1
a + 2cdot 1 = 1 ;Longrightarrow; a = -1
Logo as coordenadas de s1 na base T são
[s1]T = -1[4pt]1 ]

Passo 4

Agora fazemos o mesmo para
levando ao sistema
Subtraindo a primeira equação da segunda dá implica . Assim
]

Passo 5

A matriz PTS tem como colunas exatamente [s1]T e [s2]T, na ordem dos vetores de S. Portanto
PTS = -1 & -2 1 & 1

Resposta

PTS = -1 & -2 1 & 1

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