Sejam B=1+x, x+x^2, x^2+x^3, x^3 e C bases de R[x]3, sendo C a base canônica. Determine:
A matriz de mudança da base B para C.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a base
B=1+x,;x+x^2,;x^2+x^3,;x^3
e a base canônica
C=1,x,x^2,x^3
de R[x]3, e queremos a matriz de mudança de base de B para C. Vamos usar o fato de que cada coluna dessa matriz é o vetor de B expresso em coordenadas na base canônica.

Passo 2

Para cada vetor de B expressamos em termos de C:
1+x = 1cdot1 + 1cdot x + 0cdot x^2 + 0cdot x^3,
x+x^2 = 0cdot1 + 1cdot x + 1cdot x^2 + 0cdot x^3,
x^2+x^3 = 0cdot1 + 0cdot x + 1cdot x^2 + 1cdot x^3,
x^3 = 0cdot1 + 0cdot x + 0cdot x^2 + 1cdot x^3
Logo, as coordenadas na base canônica são, respectivamente, os vetores coluna
1100, 0110, 0011, 0001

Passo 3

Montamos a matriz de mudança de base cujas colunas são esses vetores, na ordem em que aparecem em B.

Resposta

PCB = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 1

Exercícios relacionados